【題目】如圖1,△ABC中,沿∠BAC的平分線AB1折疊,剪掉重疊部分;將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊,剪掉重疊部分;;將余下部分沿∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊,點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合,無論折疊多少次,只要最后一次恰好重合,我們就稱∠BAC△ABC的好角.

1)如圖2,在△ABC中,∠B>∠C,若經(jīng)過兩次折疊,∠BAC△ABC的好角,則∠B∠C的等量關(guān)系是_______

2)如果一個(gè)三角形的最小角是20°,則此三角形的最大角為______時(shí),該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角。

【答案】 140°、120°80°

【解析】

1)根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠A1B1B2=C,∠AA1B1=B,由三角形外角性質(zhì)可得∠AA1B1=2C,根據(jù)等量代換可得∠B=2C;(2)先求出經(jīng)過三次折疊,∠BACABC的好角時(shí),∠B與∠C的等量關(guān)系為∠B=3C,進(jìn)而可得經(jīng)過n次折疊,∠BACABC的好角時(shí)∠B與∠C的等量關(guān)系為∠B=nC,因?yàn)樽钚〗鞘?/span>20,是ABC的好角,根據(jù)好角定義,設(shè)另兩角分別為20m,4mn°,由題意得20m+20mn+20=180°,所以m(n+1)=8,再根據(jù)m、n都是正整數(shù)可得mn+18的整數(shù)因子,從而可以求得結(jié)果.

1)根據(jù)折疊性質(zhì)得∠B=AA1B1,∠A1B1B2=C,

∵∠AA1B1=A1B1B2+C

∴∠B=2C

故答案為:∠B=2C

2)如圖:∵根據(jù)折疊的性質(zhì)知,∠B=AA1B1,∠C=A2B2C,∠A1B1C=A1A2B2

∴根據(jù)三角形的外角定理知,∠A1A2B2=C+A2B2C=2C;

∵根據(jù)四邊形的外角定理知,∠BAC+B+AA1B1-A1B1C=BAC+2B-2C=180°,

根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知,∠BAC+B+C=180°,

∴∠B=3C;

∴當(dāng)∠B=2C時(shí),∠BACABC的好角;當(dāng)∠B=3C時(shí),∠BACABC的好角;

故若經(jīng)過n次折疊∠BACABC的好角,則∠B與∠C(不妨設(shè)∠B>∠C)之間的等量關(guān)系為∠B=nC;

∵最小角為20°,

∴設(shè)另兩個(gè)角為20m°20mn°

20°+20m°+20mn°=180°,即m(1+n)=8,

mn為整數(shù),

m=1,1+n=8;或m=21+n=4;或m=4,1+n=2.

解得:m=1,n=7;m=2,n=3,m=4n=1,

∴另兩個(gè)角為20°、140°40°、120°80°80°,

∴此三角形最大角為140°、120°80°時(shí),三個(gè)角均是此三角形的好角.

故答案為:140°、120°80°

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)這個(gè)班級(jí)共有多少名學(xué)生?

(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“幫母親做家務(wù)”所在扇形的圓心角的度數(shù)是多少?

(3)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

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A.
B.
C.
D.

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A.2 B.3 C.4 D.5

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