Question

（2012•渝北區(qū)一模）在“春季經(jīng)貿(mào)洽談會(huì)”上，我市某服裝廠接到生產(chǎn)一批出口服裝的訂單，要求必須在12天（含12天）內(nèi)保質(zhì)保量完成，且當(dāng)天加工的服裝當(dāng)天立即空運(yùn)走．為了加快進(jìn)度，車間采取工人輪流休息，機(jī)器滿負(fù)荷運(yùn)轉(zhuǎn)的生產(chǎn)方式，生產(chǎn)效率得到了提高．這樣每天生產(chǎn)的服裝數(shù)量y（套）與時(shí)間x（元）的關(guān)系如下表：

時(shí)間x（天）	1	2	3	4	…
每天產(chǎn)量y（套）	22	24	26	28	…

由于機(jī)器損耗等原因，當(dāng)每天生產(chǎn)的服裝數(shù)達(dá)到一定量后，平均每套服裝的成本會(huì)隨著服裝產(chǎn)量的增加而增大，這樣平均每套服裝的成本z（元）與生產(chǎn)時(shí)間x（天）的關(guān)系如圖所示．

（1）判斷每天生產(chǎn)的服裝的數(shù)量y（套）與生產(chǎn)時(shí)間x（元）之間是我們學(xué)過(guò)的哪種函數(shù)關(guān)系？并驗(yàn)證．
（2）已知這批外貿(mào)服裝的訂購(gòu)價(jià)格為每套1570元，設(shè)車間每天的利潤(rùn)為w（元）．求w（元）與x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出哪一天該生產(chǎn)車間獲得最高利潤(rùn)，最高利潤(rùn)是多少元？
（3）從第6天起，該廠決定該車間每銷售一套服裝就捐a元給山區(qū)的留守兒童作為建圖書室的基金，但必須保證每天扣除捐款后的利潤(rùn)隨時(shí)間的增大而增大．求a的最大值，此時(shí)留守兒童共得多少元基金？

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，進(jìn)而驗(yàn)證得出即可；
（2）根據(jù)自變量的取值范圍，分別求出當(dāng)1≤x≤5時(shí)，以及當(dāng)6≤x≤12時(shí)，求出W的值，即可得出答案；
（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及對(duì)稱軸x=

970-a

80

，在對(duì)稱軸的左側(cè)，Q隨x的增大而增大，求出即可．

解答：解：（1）由表格知，y是x的一次函數(shù)
設(shè)y=kx+b
則

k+b=22 2k+b=24

，
∴

k=2 b=20

；
∴y=2x+20；
檢驗(yàn)：當(dāng)x=3時(shí)，y=2×3+20=26，
當(dāng)x=4時(shí)，y=2×4+20=28，
∴（3，26），（4，28）均滿足y=2x+20；

（2）由題意得：z=400（1≤x≤5的整數(shù)），
當(dāng)6≤x≤12的整數(shù)時(shí)，
設(shè)z=k′x+b′，
∴

6k′+b′=440 12k′+b′=680

．
∴

k′=40 b′=200

，
∴z ₁=40x+200；
當(dāng)1≤x≤5時(shí)．
W ₁=（2x+20）（1570-400），
即W ₁=2340x+23400，
∵2340＞0，
∴W ₁隨x的增大而增大．
∴x=5時(shí)，
W _1最大=2340×5+23400=35100（元），
當(dāng)6≤x≤12時(shí)，
W ₂=（2x+20）（1570-40x-200）=（2x+20）（1370-40x），
即W ₂=-80x ²+1940x+27400，
∵-80＜0，∴開口向下
對(duì)稱軸x=-

1940

2×(-80)

=12

1

8

，
在對(duì)稱軸的左側(cè)，W₂隨x的增大而增大．
∴當(dāng)x=12時(shí)，W _2最大=39160（元）
∵39160＞35100，
∴第12天獲得最大利潤(rùn)為39160元；

（3）設(shè)捐款a元后的利潤(rùn)為Q（元）
∵6≤x≤12，
∴Q=（2x+20）（1570-40x-200-a）
=（2x+20）（1370-2a）x+27400-20a，
∵-80＜0，開口向下，
對(duì)稱軸x=

970-a

80

，在對(duì)稱軸的左側(cè)，Q隨x的增大而增大．
∴

970-a

80

≥12，
∴a≤10，
∴a的最大值是10，
共得到基金（32+34+36+38+40+42+44）×10=2660（元）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知結(jié)合自變量的取值范圍確定函數(shù)解析式進(jìn)而求出是解題關(guān)鍵．