Question

【題目】如圖，已知：等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，E為邊AB上任意一點(diǎn)，以CE為斜邊作等腰Rt△CDE，連接AD，下列說法：①∠BCE＝∠AED；②△AED∽△ECB；③AD∥BC；④四邊形ABCD的面積有最大值，且最大值為．其中正確的結(jié)論有_____．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

首先根據(jù)已知條件看能得到哪些等量條件，然后根據(jù)得出的條件來判斷各結(jié)論是否正確．

∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，
∴AB=AC=，BC= ，CD=DE=CE；
∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；

①∵∠B=∠DEC=45°，
∴180°-∠BEC-45°=180°-∠BEC-45°；
即∠AEC=∠BCE；故①正確；
③∵，
∴，
由①知∠ECB=∠DCA，
∴△BEC∽△ADC；
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，
即AD∥BC，故③正確；
②由③知：∠DAC=45°，則∠EAD=135°；
∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；
∵∠ECA＜45°，
∴∠BEC＜135°，
即∠BEC＜∠EAD；
因此△EAD與△BEC不相似，故②錯(cuò)誤；
④△ABC的面積為定值，若梯形ABCD的面積最大，則△ACD的面積最大；
△ACD中，AD邊上的高為定值（即為1），若△ACD的面積最大，則AD的長(zhǎng)最大；
由④的△BEC∽△ADC知：當(dāng)AD最長(zhǎng)時(shí)，BE也最長(zhǎng)；
故梯形ABCD面積最大時(shí)，E、A重合，此時(shí)EC=AC=，AD=1；
故S梯形ABCD=（1+2）×1=，故④正確；
故答案為：①③④．