Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，有一寬度為1的刻度尺沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對邊交拋物線于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，交直線AC于點(diǎn)M和點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)E和點(diǎn)F．

（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)M和點(diǎn)N都在線段AC上時，連接EN，如果點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，0），求sin∠ANE的值；

（3）在刻度尺平移過程中，當(dāng)以點(diǎn)P、Q、N、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A（5，0）、B（-3，0）、C（0，5）;(2) ;(3) 點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，3）或（2+ ，3﹣）或（2﹣，3+）

【解析】（1）令y=0得： =0，解得x=5或x=-3．

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，

∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分為（5，0）、（-3，0）．

當(dāng)x=0時，y=5，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）．………………………………………………3分

（2）如圖1，作EG⊥AC，垂足為點(diǎn)G．

∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，0），

∴OE=4．

∵OA=OC=5，

∴AE=1，∠OAC=45°．

∴AF=FN=2，GE=AEsin45°=．………………5分

在Rt△EFN中，依據(jù)勾股定理可知NE===．………………6分

∴sin∠ANE===．……………………7分

（3）設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b．

將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得： ，

解得k=﹣1，b=5．

∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x+5．………………9分

①當(dāng)MN為邊時，如圖2所示：

設(shè)點(diǎn)Q（n， ），則點(diǎn)P（n+1， ），點(diǎn)N（n，﹣n+5）M(n+1，-n+4)．

∵QN=PM

∴，解得n=2．

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，3）．………………………………10分

當(dāng)MN是平行四邊形的對角線時，如圖3所示：

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，0），

則N（m，﹣m+5），M（m+1，﹣m+4）,

Q（m， ），P（m+1， ）．

∵QN = PM，

∴，解得m=2±．

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，3﹣）或（2﹣，3+）．

綜上所述，以點(diǎn)P、Q、N、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，3）或（2，3﹣）或（2﹣，3+）．…………………………12分