【題目】如圖,已知⊙O是邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC的外接圓,點(diǎn)D,E分別是BC,AC上兩點(diǎn),且BD=CE,連接AD,BE相交于點(diǎn)P,延長(zhǎng)線段BE交⊙O于點(diǎn)F,連接CF.
(1)求證:AD∥FC;
(2)連接PC,當(dāng)△PEC為直角三角形時(shí),求tan∠ACF的值.
【答案】(1)見解析;(2)當(dāng)△PEC為直角三角形時(shí),tan∠ACF=或
【解析】
(1)先說明△ABD≌△BCE,然后再運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)、圓周角的性質(zhì)、角的和差以及平行線的判定定理解答即可;
(2)連接PC,分∠PCE=90°,∠CEP=90°和∠CPE=90°三種情況解答即可
解:(1)∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=BC=AC=2 , ∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,
∵BD=CE.
∴△ABD≌△BCE(SAS).
∴∠BAD=∠CBE.
∴∠BPD=∠BAD+∠ABP=∠CBE+∠ABP=60°
∵∠BAC=∠BFC=60°,
∴∠BPD=∠BFC.
∴AD∥FC.
(2) 當(dāng)△PEC為直角三角形時(shí),可分為三種情況:
∠PCE=90°或∠CEP=90°或∠CPE=90°.
①當(dāng)∠PCE=90°時(shí),
∵∠PCE<∠ACB=60°,
∴∠PCE=90°這種情況不存在.
②當(dāng)∠CEP=90°時(shí),
∵AB=BC=AC,
∴AE=EC,∠ABE=∠CBE=30°.
∴∠ACF=∠ABF=30°.
∴tan∠ACF=tan30°=.
③當(dāng)∠CPE=90°時(shí),過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H,
設(shè)AE=x,則CD=AE=x,CE=6-x.
∵AB=AC,AH⊥BC,
∴BH=CH=3,∠HAC=∠HAB=30°.
∴HD=3-x.
∵∠BFC=60°,∠CPE=90°,
∴∠PCF=∠HAC=30°.
∵AD∥FC,
∴∠FCA=∠DAC.
∴∠PCF-∠FCA=∠HAC-∠DAC.
∴∠HAD=∠PCE.
∵∠AHD=∠CPE=90°
∴△AHD∽△CPE.
∴.
∴①.
∵∠BPD=∠APE=∠ACB=60° ∠PAE=∠CAD
∴△PAE∽△CAD.
∴.
∴②.
觀察①式和②式
可得:.
∴.
解得:x=2.
∴AE=2.
過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G
∴在Rt△AEG中 ∠EAG=60°.
∴.
.
∴BG=AB-AG=5.
在Rt△BGE中,tan∠ABE=.
∴tan∠ACF=tan∠ABE=.
綜上所述,當(dāng)△PEC為直角三角形時(shí),tan∠ACF=或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB∶BC=3∶2,過點(diǎn)B作BE∥AC,過點(diǎn)C作CE∥DB,BE,CE交于點(diǎn)E,連接DE,則tan∠EDC等于()
A.B.C.D.
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【題目】如圖點(diǎn)P為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn).連接OP并延長(zhǎng)到點(diǎn)A,使,過點(diǎn)A作x軸的垂線,垂足為B,交雙曲線于點(diǎn)C.當(dāng)時(shí),連接PC,將沿直線PC進(jìn)行翻折,則翻折后的與四邊形BOPC的重疊部分(圖中陰影部分)的面積是_______________
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),,直線與軸和軸分別交于點(diǎn),,若拋物線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),其中一個(gè)交點(diǎn)在線段上(包含,兩個(gè)端點(diǎn)),另一個(gè)交點(diǎn)在線段上(包含,兩個(gè)端點(diǎn)),則的取值范圍是
A. B. 或C. D. 或
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【題目】如圖,點(diǎn)A,B,C在反比例函數(shù)的圖象上,且直線AB經(jīng)過原點(diǎn),點(diǎn)C在第二象限上,連接AC并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D,連接BD,若△BOD的面積為9,則=_____.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線:,直線,在直線上取一點(diǎn),使,以點(diǎn)為對(duì)稱中心,作點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),過點(diǎn)作∥,交軸于點(diǎn),作∥軸,交直線于點(diǎn),得到四邊形;再以點(diǎn)為對(duì)稱中心,作點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),過點(diǎn)作 ∥,交軸于點(diǎn),作∥軸,交直線于點(diǎn),得到四邊形;…;按此規(guī)律作下去,則四邊形的面積是___________.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,Rt△MPN,∠MPN=90°,點(diǎn)P在AC上,PM交AB與點(diǎn)E,PN交BC與點(diǎn)F,當(dāng)PE=2PF時(shí),AP=_____
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【題目】有一邊長(zhǎng)為的等邊游樂場(chǎng),某人從邊中點(diǎn)出發(fā),先由點(diǎn)沿平行于的方向運(yùn)動(dòng)到邊上的點(diǎn),再由沿平行于方向運(yùn)動(dòng)到邊上的點(diǎn),又由點(diǎn)沿平行于方向運(yùn)動(dòng)到邊上的點(diǎn),則此人至少要運(yùn)動(dòng)_______,才能回到點(diǎn).如果此人從邊上意一點(diǎn)出發(fā),按照上面的規(guī)律運(yùn)動(dòng),則此人至少走______,就能回到起點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,為測(cè)量河岸兩燈塔,之間的距離,小明在河對(duì)岸處測(cè)得燈塔在北偏東方向上,燈塔在東北方向上,小明沿河岸向東行走100米至處,測(cè)得此時(shí)燈塔在北偏西方向上,已知河兩岸.
(1)求觀測(cè)點(diǎn)到燈塔的距離;
(2)求燈塔,之間的距離.
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