【題目】ABCADE都是等腰直角三角形,且ACABADAE,連接DC,點M、P、N分別為DEDCBC的中點.

1)如圖1,當點D、E分別在邊AB、AC上,線段PMPN的數(shù)量關系是   ,位置關系是   ;

2)把等腰RtADE繞點A旋轉到如圖2的位置,連接MN,判斷PMN的形狀,并說明理由;

3)把等腰RtADE繞點A在平面內(nèi)任意旋轉,AD2AB6,請直接寫出PMN的面積S的變化范圍   

【答案】1PMPN,PMPN;(2PMN是等腰直角三角形,見解析;(32≤S≤8

【解析】

1)利用三角形的中位線得出PM=CEPN=BD,進而判斷出BD=CE,即可得出結論,再利用三角形的中位線得出PMCE得出∠DPM=DCA,最后用互余即可得出結論;

2)先判斷出△ABD≌△ACE,得出BD=CE,同(1)的方法得出PM=BDPN=BD,即可得出PM=PN,同(1)的方法即可得出結論;
3)先判斷出BD最大時,△PMN的面積最大,而BD最大是AB+AD=14,再判斷出B

最小時,△PMN最小,即可得出結論.

解:(1)∵點P,NBCCD的中點,

PNBDPNBD,

∵點P,MCD,DE的中點,

PMCE,PMCE,

ABAC,ADAE

BDCE,

PMPN,

PNBD,

∴∠DPN=∠ADC

PMCE,

∴∠DPM=∠DCA,

∵∠BAC90°,

∴∠ADC+ACD90°

∴∠MPN=∠DPM+DPN=∠DCA+ADC90°,

PMPN

故答案為:PMPN,PMPN

2PMN是等腰直角三角形.

由旋轉知,∠BAD=∠CAE,

ABAC,ADAE,

∴△ABD≌△ACESAS),

∴∠ABD=∠ACE,BDCE,

利用三角形的中位線得,PNBDPMCE,

PMPN,

∴△PMN是等腰三角形,

同(1)的方法得,PMCE,

∴∠DPM=∠DCE,

同(1)的方法得,PNBD,

∴∠PNC=∠DBC

∵∠DPN=∠DCB+PNC=∠DCB+DBC,

∴∠MPN=∠DPM+DPN=∠DCE+DCB+DBC

=∠BCE+DBC=∠ACB+ACE+DBC

=∠ACB+ABD+DBC=∠ACB+ABC

∵∠BAC90°,

∴∠ACB+ABC90°

∴∠MPN90°,

∴△PMN是等腰直角三角形;

3)由(2)知,PMN是等腰直角三角形,PMPNBD,

PM最大時,PMN面積最大,PM最小時,PMN面積最小

∴點DBA的延長線上,PMN的面積最大,

BDAB+AD8

PM4

S最大PM2×428,

當點D在線段AB上時,PMN的面積最小,

BDABAD4,

PM2

S最小PM2×222,

2≤S≤8

故答案為:2≤S≤8

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