【題目】 如圖,在8×8的網(wǎng)格中,每個小方格都是邊長為1的小正方形,每個小正方形的頂點稱為格點.如果拋物線經(jīng)過圖中的三個格點,那么以這三個格點為頂點的三角形稱為該拋物線的“內(nèi)接格點三角形”,設(shè)對稱軸平行于y軸的拋物線與網(wǎng)格對角線OM的兩個交點為A,B,其頂點為C,如果△ABC是該拋物線的內(nèi)接格點三角形,且AB=3,點A,B,C的橫坐標(biāo)xA,xB,xC滿足xA<xC<xB,那么符合上述條件的拋物線的條數(shù)是______.
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【題目】如圖,已知直線∥AB,與 AB 之間的距離為 2 ,C、D 是直線上兩個動點(點 C在 D 點的左側(cè)),且 AB=CD=5.連接 AC、BC、BD,將△ABC 沿 BC 折疊得到△A′BC.若以 A′、C、B、D 為頂點的四邊形為矩形,則此矩形相鄰兩邊之和為____.
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【題目】如圖,在ABCD中,AB=6,BC=10,AB⊥AC,點P從點B出發(fā)沿著B→A→C的路徑運動,同時點Q從點A出發(fā)沿著A→C→D的路徑以相同的速度運動,當(dāng)點P到達點C時,點Q隨之停止運動,設(shè)點P運動的路程為x,y=PQ2,下列圖象中大致反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是( )
A. B.
C. D.
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【題目】下面是小星同學(xué)設(shè)計的“過直線外一點作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程:
已知:如圖,直線l和直線l外一點A
求作:直線AP,使得AP∥l
作法:如圖
①在直線l上任取一點B(AB與l不垂直),以點A為圓心,AB為半徑作圓,與直線l交于點C.
②連接AC,AB,延長BA到點D;
③作∠DAC的平分線AP.
所以直線AP就是所求作的直線
根據(jù)小星同學(xué)設(shè)計的尺規(guī)作圖過程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補全圖形(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明
證明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB (填推理的依據(jù))
∵∠DAC是△ABC的外角,
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB (填推理的依據(jù))
∴∠DAC=2∠ABC
∵AP平分∠DAC,
∴∠DAC=2∠DAP
∴∠DAP=∠ABC
∴AP∥l (填推理的依據(jù))
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,E為AB邊上一點,連接DE,將△ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDF,作點F關(guān)于CD的對稱點,記為點G,連接DG.
(1)依題意在圖1中補全圖形;
(2)連接BD,EG,判斷BD與EG的位置關(guān)系并在圖2中加以證明;
(3)當(dāng)點E為線段AB的中點時,直接寫出∠EDG的正切值.
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【題目】 問題:如圖1,在四邊形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,AC=,BC=2,求CD的長.
(1)發(fā)現(xiàn):張強同學(xué)解決這個問題的思路是:將△BCD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處,點B,C分別落在點A,E處(如圖2),易證點C,A,E在同一條直線上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE=CD,從而得到了AC,BC,CD三條線段之間的關(guān)系為:AC+BC=CD,從而求出CD的長是______ ;
(2)應(yīng)用:如圖3,AB是⊙O的直徑,點C,D在⊙O上,且,若AB=5,BC=4,求CD的長;
(3)拓展:如圖4,∠ACB=90°,AC=BC=2,點P為AB的中點,若點E滿足CE=CA,點Q為AE的中點,直接寫出線段PQ的長是______.
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【題目】綜合與探究:如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,四邊形OABC是平行四邊形,A、C兩點的坐標(biāo)分別為(4,0),(-2,3),拋物線W經(jīng)過O、A、C三點,D是拋物線W的頂點.
(1)求拋物線W的解析式及頂點D的坐標(biāo);
(2)將拋物線W和OABC一起先向右平移4個單位后,再向下平移m(0<m<3)個單位,得到拋物線W′和O′A′B′C′,在向下平移的過程中,設(shè)O′A′B′C′與OABC的重疊部分的面積為S,試探究:當(dāng)m為何值時S有最大值,并求出S的最大值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)S取最大值時,設(shè)此時拋物線W′的頂點為F,若點M是x軸上的動點,點N是拋物線W′上的動點,試判斷是否存在這樣的點M和點N,使得以D、F、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于,兩點,與軸交于.
(1)求函數(shù)表達式;
(2)點是線段中點,點是上方拋物線上一動點,連接,.當(dāng)的面積最大時,過點作軸垂線,垂足為,點為線段上一動點,將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點,,的對應(yīng)點分別是,,,點從點出發(fā),先沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\動到點處,再沿運動到點處,最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\動到點處停止.求面積的最大值及點經(jīng)過的最短路徑的長;
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的.連接BE、CF相交于點D.
(1)求證:BE=CF.
(2)當(dāng)四邊形ACDE為菱形時,求BD的長.
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