Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)P，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線為y=﹣x+3．

（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)C、P、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）連接AC，在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）二次函數(shù)解析式為y=x2-4x+3．（2）M1（2，7），M2（2，2-1），M3（2， ），M4（2，-2-1）；（3）存在點(diǎn)Q使得以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．點(diǎn)Q坐標(biāo)（0，0）或（，0）．

【解析】試題分析：（1）先求出B、C坐標(biāo)，代入拋物線解析式解方程組即可解決問題．

（2）分三種情形討論即可①CM=CP，②PM=PC，③MP=MC，畫出圖形即可解決問題．

（3）分兩種情形討論即可①時(shí)，△ABC∽△PBQ1，列出方程即可解決．②當(dāng)時(shí)，△ABC∽△Q2BP，列出方程即可解決．

試題解析：（1）∵直線y=-x+3經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，

∴B（3，0），C（0，3），

∵二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，

∴解得，

∴二次函數(shù)解析式為y=x2-4x+3．

（2）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，

∴該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（2，-1），

∴如圖1所示，滿足條件的點(diǎn)M分別為

M1（2，7），M2（2，2-1），M3（2， ），M4（2，-2-1）．

（3）由（1）（2）得A（1，0），BP=，BC=3，AB=2，

如圖2所示，連接BP，∠CBA=∠ABP=45°，

①時(shí)，△ABC∽△PBQ1，

此時(shí)，

∴BQ1=3，

∴Q1（0，0）．

②當(dāng)時(shí)，△ABC∽△Q2BP，

此時(shí)， ，

∴BQ2=，

∴Q2（，0），

綜上所述，存在點(diǎn)Q使得以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．點(diǎn)Q坐標(biāo)（0，0）或（，0）．