【題目】如圖①,已知△ABC是等腰三角形,∠BAC=90°,點D是BC的中點,作正方形DEFG,使點A、C分別在DG和DE上,連接AE、BG.
(1)試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖②,將正方形DEFG繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α≤90°),判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立,證明你的結(jié)論.
(3)若BC=DE=2,在(2)的旋轉(zhuǎn)過程中,求線段AE長的最大值和最小值
【答案】(1)證明見解析(2)成立(3)線段AE長的最大值是3,最小值是1.
【解析】整體分析:
(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出△ADE≌△BDG即可;(2)①如圖2,連接AD,證明△ADE≌△BDG;(3)由(1)可知BG=AE,當(dāng)BG取得最大值時,AE取得最大值,畫出圖形,根據(jù)圖形求解.
解:(1)∵△ABC是等腰三角形,∴BD=DA,
∵四邊形DEFG是正方形,所以GD=DE,∠GDB=∠EDA=90°;
∴△BDG≌△ADE;
∴BG=AE;
(2)成立,證明如下:
連接AD,
∵Rt△BAC中,D為斜邊BC的中點,
∴AD=BD,AD⊥BC,∴∠ADG+∠GDB=90°,
∵EFGD為正方形,∴DE=DG,且∠GDE=90°,
∴∠ADG+∠ADE=90°,∴∠BDG=∠ADE,
△BDG和△AED中,BD=AD,∠BDG=∠ADE,GD=ED,
∴△BDG≌△ADE,
∴BG=AE;
(3)由(2)得BG=AE,當(dāng)BG取得最大值時,AE取得最大值;
當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度為270°時,如圖,
BG的最大值為1+2=3,
所以AE的最大值為3;
當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度為90°時,如圖,
BG的最小值為2-1=1,
所以AE的最小值為1.
所以線段AE長的最大值是3,最小值是1.
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【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,矩形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸正半軸上,點B的坐標(biāo)是(5,2),點P是CB邊上一動點(不與點C、點B重合),連結(jié)OP、AP,過點O作射線OE交AP的延長線于點E,交CB邊于點M,且∠AOP=∠COM,令CP=x,MP=y.
(1)當(dāng)x為何值時,OP⊥AP?
(2)求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;
(3)在點P的運動過程中,是否存在x,使△OCM的面積與△ABP的面積之和等于△EMP的面積?若存在,請求x的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】【背景】已知:l∥m∥n∥k,平行線l與m、m與n、n與k之間的距離分別為d1,d2,d3,且d1=d3=1,d2=2.我們把四個頂點分別在l,m,n,k這四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形” .
【探究1】(1)如圖1,正方形ABCD為“格線四邊形”,BE⊥l于點E,BE的反向延長線交直線k于點F.求正方形ABCD的邊長.
【探究2】(2)如圖2,菱形ABCD為“格線四邊形”且∠ADC=60°,△AEF是等邊三角形,AE⊥k于點E,∠AFD=90°,直線DF分別交直線l,k于點G、點M.求證:EC=DF.
【拓展】(3)如圖3,l∥k,等邊△ABC的頂點A,B分別落在直線l,k上,AB⊥k于點B,且∠ACD=90°,直線CD分別交直線l、k于點G、點M,點D、點E分別是線段GM、BM上的動點,且始終保持AD=AE,DH⊥l于點H.猜想:DH在什么范圍內(nèi),BC∥DE?并說明此時BC∥DE的理由.
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【題目】閱讀下列材料:
近五年,我國對外貿(mào)易發(fā)展迅速.據(jù)海關(guān)統(tǒng)計,2017年我國進(jìn)出口總額為27.8萬億元,比2016年增長14.4%,其中2017年進(jìn)口額12.5萬億元,比2016年增長19.0%.2013---2016年我國進(jìn)出口額數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
出口額/萬億元 | 13.7 | 14.4 | 14.1 | 13.8 |
進(jìn)口額/萬億元 | 12.1 | 12.0 | 10.4 | 10.5 |
根據(jù)以上材料解答下列問題:
(1)2017年我國出口額為______________萬億元;
(2)請選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖描述2013---2017年我國出口額,并在圖中標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù);
(3)通過(2)中的統(tǒng)計圖判斷:2013---2017年我國出口額比上一年增長最多的是_______________年.
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【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長為1個單位長度.平面直角坐標(biāo)系xOy的原點O在格點上,x軸、y軸都在格線上.線段AB的兩個端點也在格點上.
(1)若將線段AB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A1B1,試在圖中畫出線段A1B1.
(2)若線段A2B2與線段A1B1關(guān)于y軸對稱,請畫出線段A2B2.
(3)若點P是此平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點,當(dāng)點A、B1、B2、P四邊圍成的四邊形為平行四邊形時,請你直接寫出點P的坐標(biāo)(寫出一個即可).
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD為AB邊上的中線,過點D作DE⊥BC于E,過點C作AB的平行線與DE的延長線交于點F,連接BF,AF.
(1)求證:四邊形BDCF為菱形:
(2)若四邊形BDCF的面積為24,CE:AC=2:3,求AF的長.
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【題目】據(jù)統(tǒng)計兩省人口總數(shù)基本相同,2001年A省的城鎮(zhèn)在校中學(xué)生人數(shù)為156萬,農(nóng)村在校中學(xué)生人數(shù)為72萬;B省的城鎮(zhèn)在校中學(xué)生人數(shù)為84萬,農(nóng)村在校中學(xué)生人數(shù)為103萬李軍同學(xué)根據(jù)數(shù)據(jù)畫出下面兩個復(fù)合條形統(tǒng)計圖.
圖______ 更好反映兩省在校中學(xué)生總數(shù);
圖______ 更好地比較省城鎮(zhèn)和農(nóng)村在校中學(xué)生人數(shù);
說說兩種圖的特點.
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【題目】如圖,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于點D,PE⊥OB于點E.如果點M是OP的中點,則DM的長是( )
A.2
B.
C.
D.
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