Question

已知：如圖所示，A、K為圓O上的兩點，直線FN⊥MA，垂足為N，F(xiàn)N與圓O相切于點F，∠AOK=2∠MAK．
（1）求證：MN是圓O的切線；
（2）若點B為圓O上一動點，BO的延長線交圓O于點C，交NF于點D，連接AC并延長交NF于點E．當(dāng)FD=2ED時，求∠AEN的余切值．

Answer 1

分析：（1）要證MN是圓O的切線，只要證得∠OAM=90°即可；
（2）要求它的余切值，需要求得EN：AN的值，根據(jù)切割線定理和已知條件找到線段之間的關(guān)系，從而根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求解．

解答：（1）證明：∵OA=OK，
∴∠3=∠AKO．
∵∠2+∠3+∠AKO=180°，∠AOK=2∠MAK，
∴∠MAK+∠OAK=90°；
∴MN是圓O的切線．

（2）解：∵MN是圓O的切線，
∴∠1=∠B，
∴∠4=∠2．
又∵∠2=∠3，
∴∠4=∠3，
∴DC=DE．
∵NF切圓O于F，
∴∠OFN=90°，
又∵∠NAO=90°，
∴四邊形AOFN是矩形．
∵OA=OF，
∴矩形AOFN是正方形，
∴AN=NF=OF．
∵NF切圓O于F，
∴FD²=DC•DB．
∵FD=2ED，
設(shè)ED=x，則CD=ED=x，
∴（2x）²=x（x+2r），
解得x=

2

3

r．
在△AEN中，∠ANE=90°，
cot∠AEN=

NE

AN

=

NF+FE

AN

=

3r

r

，
cot∠AEN=

NE

AN

=

NE+FE

AN

=

3r

r

=3，
同理：x=

2

3

r．
在△AEN中，∠ANE=90°．
cot∠AEN=

NE

AN

=

NE+FE

AN

=

1 3 r

r

=

1

3

，
∴∠AEN的余切值為3或

1

3

．

點評：此題綜合運用了切線的判定和性質(zhì)、切割線定理以及銳角三角函數(shù)的概念．