Question

【題目】如圖1，以□ABCD的較短邊CD為一邊作菱形CDEF,使點(diǎn)F落在邊AD上，連接BE，交AF于點(diǎn)G.

（1）猜想BG與EG的數(shù)量關(guān)系.并說明理由；

（2）延長(zhǎng)DE,BA交于點(diǎn)H，其他條件不變，

①如圖2，若∠ADC=60°，求的值；

②如圖3，若∠ADC=α（0°<α<90°）,直接寫出的值.（用含α的三角函數(shù)表示）

Answer 1

【答案】（1），理由見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）BG=EG，根據(jù)已知條件易證△BAG≌△EFG，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得結(jié)論；（2）①方法一：過點(diǎn)G作GM∥BH，交DH于點(diǎn)M，證明ΔGME∽ΔBHE，即可得，再證明是等邊三角形，可得 ，由此可得；方法二：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，證明ΔHBM為等邊三角形，再證明∽ ，即可得結(jié)論；②如圖3，連接EC交DF于O根據(jù)三角函數(shù)定義得cosα=，則OF=bcosα，DG=a+2bcosα，同理表示AH的長(zhǎng)，代入計(jì)算即可．

（1），

理由如下：

∵四邊形是平行四邊形，

∴∥，.

∵四邊形是菱形，

∴∥，.

∴∥，.

∴.

又∵，

∴≌ .

∴.

（2）方法1：過點(diǎn)作∥，交于點(diǎn)，

∴.

∵，

∴∽.

∴.

由（1）結(jié)論知.

∴.

∴.

∵四邊形為菱形，

∴.

∵四邊形是平行四邊形，

∴∥.

∴.

∵∥，

∴.

∴，

即.

∴是等邊三角形。

∴.

∴.

方法2：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，

∵四邊形為菱形，

∴.

∵四邊形為平形四邊形，

∴，∥.

∴.

,

即.

∴為等邊三角形.

∴.

∵∥，

∴,.

∴∽ ，

∴.

由（1）結(jié)論知

∴.

∴.

∵,

∴ .

（3）. 如圖3，連接EC交DF于O，

∵四邊形CFED是菱形，

∴EC⊥AD，F(xiàn)D=2FO，

設(shè)FG=a，AB=b，則FG=a，EF=ED=CD=b，

Rt△EFO中，cosα=，

∴OF=bcosα，

∴DG=a+2bcosα，

過H作HM⊥AD于M，

∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α，

∴AH=HD，

∴AM=AD=（2a+2bcosα）=a+bcosα，

Rt△AHM中，cosα=，

∴AH=，

∴==cosα．