Question

在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D．
（1）求線段AD的長度；
（2）點(diǎn)E是線段AC上的一點(diǎn)，試問當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，直線ED與⊙O相切？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理易求得AB的長；可連接CD，由圓周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得關(guān)于AC、AD、AB的比例關(guān)系式，即可求出AD的長．
（2）當(dāng)ED與⊙O相切時(shí)，由切線長定理知EC=ED，則∠ECD=∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可證得AE=DE，即E是AC的中點(diǎn)．在證明時(shí)，可連接OD，證OD⊥DE即可．

解答：解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；（1分）
連接CD，∵BC為直徑，
∴∠ADC=∠BDC=90°；
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴Rt△ADC∽R(shí)t△ACB；
∴

AC

AB

=

AD

AC

，∴AD=

AC2

AB

=

9

5

；（3分）

（2）當(dāng)點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)時(shí)，ED與⊙O相切；
證明：連接OD，
∵DE是Rt△ADC的中線；
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD；
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD；
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；
∴ED⊥OD，
∴ED與⊙O相切．

點(diǎn)評：此題綜合考查了圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、切線的判定等知識(shí)．