【題目】已知二次函數(shù)y=ax2﹣9ax+18a的圖象與x軸交于A,B兩點(A在B的左側(cè)),圖象的頂點為C,直線AC交y軸于點D.
(1)連接BD,若∠BDO=∠CAB,求這個二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)是否存在以原點O為對稱軸的矩形CDEF?若存在,求出這個二次函數(shù)的表達(dá)式,若不存在,請說明理由.
【答案】(1) y=x2﹣6x+12或y=﹣x2+6x﹣12;
(2)存在,理由見解析.
【解析】
(1)先用含a的代數(shù)式表示出頂點坐標(biāo),作CM⊥x軸于M,則OM=,CM=|﹣a|.令y=0求出A、B兩點坐標(biāo).通過證明△ODA∽△OBD,可求出OD的長,由CM∥OD,求出CM的長,從而可求出a的值;
(2)連接OC,則OC=OD.由平行線的判定與性質(zhì)可證∠OCD=∠DCM.由∠AON的正弦值求得∠AON=30°,由正切函數(shù)求出CM的長,進(jìn)而可求出a的值.
解:(1)∵y=ax2﹣9ax+18a=a(x﹣)2﹣a,
∴頂點C(,﹣a).
作CM⊥x軸于M,則OM=,CM=|﹣a|.
當(dāng)y=0時,ax2﹣9ax+18a=0,解得x1=3,x2=6,
∴A(3,0),B(6,0).
∵∠BDO=∠CAB,∠CAB=∠DAO,
∴∠DAO=∠BDO.
在△ODA與△OBD中,
,
∴△ODA∽△OBD,
∴=,即=,
∴OD=3.
∵CM∥OD,
∴=,即=,
∴CM=,
∴|﹣a|=,
∴a=±,
∴二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣6x+12或y=﹣x2+6x﹣12;
(2)存在.連接OC,則OC=OD.
∴∠ODC=∠OCD.
∵CM∥OD,
∴∠ODC=∠DCM,
∴∠OCD=∠DCM.
作AN⊥OC于N,AN=AM=.
∵sin∠AON===,
∴∠AON=30°,
∴CM=OMtan30°=×=,
∴|﹣a|=,
∴a=±,
∴二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣6x+12或y=﹣x2+6x﹣12.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y =ax2+bx﹣3(a≠0)與x軸交于點A(﹣2,0)、B(4,0)兩點,與y軸交于點C.點P、Q分別是AB、BC上的動點,當(dāng)點P從A點出發(fā),在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動,同時點Q從B點出發(fā),在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動,其中一個點到達(dá)終點時,另一個點也停止運動.設(shè)P、Q同時運動的時間為t秒(0<t<2).
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)設(shè)△PBQ的面積為S ,當(dāng)t為何值時,△PBQ的面積最大,最大面積是多少?
(3)當(dāng)t為何值時,△PBQ是等腰三角形?
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【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于點D,CE⊥AB于點E,CE和BD交于點O,AO的延長線交BC于點F,則圖中全等的三角形有( )
A.8對B.7對C.6對D.5對
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,A(3,0)、B(a,2)、C(0,m),D(n,0),且m2+n2=4,若E為CD中點.則AB+BE的最小值為( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 2
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,∠CAB的角平分線AD交⊙O于點D,過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若∠CAB=60°,DE=3,求AC的長.
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【題目】如圖,圖象中所反映的過程是:張強從家跑步去體育場,在那里鍛煉了一陣后,又 去早餐店吃早餐,然后散步走回家,其中 x 表示時間,y 表示張強離家的距離。根據(jù)圖象提供的信息,以下四個說法錯誤的是( )
A. 體育場離張強家2.5千米 B. 張強在體育場鍛煉了15分鐘
C. 體育場離早餐店4千米 D. 張強從早餐店回家的平均速度是3千米/小時
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【題目】某酒廠每天生產(chǎn)A、B兩種品牌的白酒共1000瓶,A、B兩種品牌的白酒每瓶的成本和利潤如下表:
設(shè)每天生產(chǎn)A種品牌白酒x瓶,這兩種酒每天共獲利潤y元,
(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;
(2)如果該酒廠每天對這兩種酒投入成本51000元,那么這兩種酒每天獲利多少元?
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【題目】如圖,某小區(qū)有一塊長為30 m,寬為24 m的矩形空地,計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地,它們的面積之和為480 m2,兩塊綠地之間及周邊有寬度相等的人行通道,則人行通道的寬度為________m.
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【題目】青島市某大酒店豪華間實行淡季、旺季兩種價格標(biāo)準(zhǔn),旺季每間比淡季上漲,下表是去年該酒店豪華間某兩天的相關(guān)記錄:
旺季 | 淡季 | |
未入住房間數(shù) | 10 | 0 |
日總收入(元) | 24 000 | 40 000 |
(1)該酒店豪華間有多少間?旺季每間價格為多少元
(2)今年旺季來臨,豪華間的間數(shù)不變。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果豪華間仍舊實行去年旺季價格,那么每天都客滿;如果價格繼續(xù)上漲,那么每增加25元,每天未入住房間數(shù)增加1間。不考慮其他因素,該酒店將豪華間的價格上漲多少元時,豪華間的日總收入最高?最高日總收入是多少元?
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