Question

（2012•市南區(qū)模擬）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)與Rt△PQR的直角邊PQ的長(zhǎng)均為4cm，QR=8cm，AB與QR在同一直線(xiàn)l上，開(kāi)始時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，讓△PQR以1cm/s的速度在直線(xiàn)l上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)M點(diǎn)從點(diǎn)Q出發(fā)以1cm/s沿QP運(yùn)動(dòng)，直至點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），四邊形PMBN的面積為S（cm²）．
（1）當(dāng)t=1s時(shí)，求S的值；
（2）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍（不考慮端點(diǎn)）；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使得四邊形PMBN的面積S=

1

4

S△PQR？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由；
（4）是否存在某一時(shí)刻t，使得四邊形PMBN為平行四邊形？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)t=1時(shí)，AQ=QM=1，QB=3，BR=5，由tan∠PRQ=

PQ

QR

就可以求出BN的值，就根據(jù)梯形面積公式就可以求出S的值；
（2）根據(jù)梯形的面積公式=

(PM+BN)QB

2

就可以表示出S的值；
（3）用（2）的結(jié)論S與t的函數(shù)關(guān)系式與S△PQR的值相等建立方程求出其解即可；
（4）根據(jù)平行四邊形的判定方法當(dāng)PM=BN時(shí)，求出其t的值就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)t=1時(shí)，AQ=MQ=1，AB=PQ=4，
∴MP=QB=4-1=3．
∵QR=8，
∴BR=8-3=5．
∵在Rt△PQR中，PQ=4，QR=8，
∴tan∠PRQ=

PQ

QR

=

1

2

．
∴

BN

BR

=

1

2

，
∴

BN

5

=

1

2

，
∴BN=2.5．
S_{四邊形PMBN}=

(3+2.5)×3

2

=

33

4

（0≤t≤4）；

（2）由題意，得
AQ=MQ=t，PM=BQ=4-t，BR=8-（4-t）=4+t，
∴BN=2+

1

2

t，
∴S_{四邊形PMBN}=

(4-t+2+ 1 2 t)(4-t)

2

，
=

1

4

t²-4t+12；

（3）由題意，得

1

4

t²-4t+12=

1

4

×4×8，
解得：t₁=8+4

2

（舍去），t₂=8-4

2

，
∴t的值為4+

2

；

（4）∵四邊形PMBN是平行四邊形，
∴PM=BN．
∵PM=4-t，BN=2+

1

2

t，
∴4-t=2+

1

2

t，
∴t=

4

3

∴t=

4

3

時(shí)，四邊形PMBN為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的綜合題，考查了梯形的面積公式的運(yùn)用，三角函數(shù)的正切值的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用梯形的面積公式建立等量關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵．