Question

（2012•內江）如圖，已知點A（-1，0），B（4，0），點C在y軸的正半軸上，且∠ACB=90°，拋物線y=ax²+bx+c經過A、B、C三點，其頂點為M．
（1）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（2）試判斷直線CM與以AB為直徑的圓的位置關系，并加以證明；
（3）在拋物線上是否存在點N，使得S_△BCN=4？如果存在，那么這樣的點有幾個？如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，利用射影定理能求出OC的長，即可確定C點坐標，再利用待定系數法能求出該拋物線的解析式．
（2）此題的解法有兩種：①過AB的中點作直線CM的垂線，比較該垂線段與AB的一半（半徑）的大小關系，若兩者相等，則直線CM與AB為直徑的圓相切；若該垂線段小于半徑長，則兩者的位置關系為相交；若該垂線段大于半徑長，則兩者的位置關系為相離；
②連接AB中點（設為點D）和點C，根據直角三角形的性質知：CD為⊙D的半徑長，那么只需判斷CD是否與CM垂直即可，若垂直，則直線CM與⊙D相切；若不垂直，則相交．
（3）先求出線段BC的長，根據△BCN的面積，可求出BC邊上的高，那么做直線l，且直線l與直線BC的長度正好等于BC邊上的高，那么直線l與拋物線的交點即為符合條件的N點．

解答：解：（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，AO=1，BO=4；
由射影定理，得：OC²=OA•OB=4，則OC=2，即點C（0，2）；
設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-4），將C點代入上式，得：
2=a（0+1）（0-4），a=-

1

2

，
∴拋物線的解析式：y=-

1

2

（x+1）（x-4）=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）直線CM與以AB為直徑的圓相切．理由如下：
如右圖，設拋物線的對稱軸與x軸的交點為D，連接CD．
由于A、B關于拋物線的對稱軸對稱，則點D為Rt△ABC斜邊AB的中點，CD=

1

2

AB．
由（1）知：y=-

1

2

（x+1）（x-4）=-

1

2

（x-

3

2

）²+

25

8

，
則點M（

3

2

，

25

8

），ME=

25

8

-2=

9

8

；
而CE=OD=

3

2

，OC=2；
∴ME：CE=OD：OC，又∠MEC=∠COD=90°，
∴△COD∽△CEM，
∴∠CME=∠CDO，
∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°，
而CD等于⊙D的半徑長，所以直線CM與以AB為直徑的圓相切；

（3）由B（4，0）、C（0，2）得：BC=2

5

；
則：S_△BCN=

1

2

BC•h=

1

2

×2

5

×h=4，h=

4 5

5

；
過點B作BF⊥BC，且使BF=h=

4 5

5

，過F作直線l∥BC交x軸于G．
Rt△BFG中，sin∠BGF=sin∠CBO=

5

5

，BG=BF÷sin∠BGF=

4 5

5

÷

5

5

=4；
∴G（0，0）或（8，0）．
易知直線BC：y=-

1

2

x+2，則可設直線l：y=-

1

2

x+b，代入G點坐標，得：b=0或b=4，則：
直線l：y=-

1

2

x或y=-

1

2

x+4；
聯(lián)立拋物線的解析式后，可得：

y=- 1 2 x y=- 1 2 x2+ 3 2 x+2

或

y=- 1 2 x+4 y=- 1 2 x2+ 3 2 x+2

，
則 N₁（2+2

2

，-1-

2

）、N₂（2-2

2

，-1+

2

）、N₃（2，3）．

點評：該題考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點坐標的求法、圖形面積的求法以及直線與圓的位置關系等重點知識，（3）題中，直線l可能在B點左側也可能在其右側，一定要將所有情況都考慮到．