【題目】如圖,已知以AB為直徑的圓中,∠ACB=∠ABD=90°,∠D=60°,∠ABC=45°.

(1)求證:EC平分∠AEB;

(2)的值.

【答案】(1)見(jiàn)詳解;(2).

【解析】

Rt△ACB中∠ABC=45°,得出∠BAC=∠ABC=45°,根據(jù)圓周角定理得出∠AEC=∠ABC,∠BEC=∠BAC,等量代換得出∠AEC=∠BEC,即EC平分∠AEB;
(2)方法1、設(shè)ABCE交于點(diǎn)M.根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出=.易求∠BAD=30°,由直徑所對(duì)的圓周角是直角得出∠AEB=90°,解直角△ABE得到AE= BE,那么== .作AF⊥CEF,BG⊥CEG.證明△AFM∽△BGM,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出 = =,進(jìn)而求出 = ==
方法2、易求∠BAD=30°,由直徑所對(duì)的圓周角是直角得出∠AEB=90°,解直角△ABE得到AE= BE,那么 == ,再用角平分線定理判斷出CP=CQ,即可得出結(jié)論.

(1)證明:∵Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC=45°,
∴∠BAC=∠ABC=45°,
∵∠AEC=∠ABC,∠BEC=∠BAC,
∴∠AEC=∠BEC,
EC平分∠AEB;

(2)解:如圖,設(shè)ABCE交于點(diǎn)M.
∵EC平分∠AEB,
=
Rt△ABD中,∠ABD=90°,∠D=60°,
∴∠BAD=30°,
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,
∴∠AEB=90°,
∴tan∠BAE= =,
∴AE=BE,
==
AF⊥CEF,BG⊥CEG.
在△AFM與△BGM中,
∵∠AFM=∠BGM=90°,∠AMF=∠BMG,
∴△AFM∽△BGM,
= = ,
= ==

方法2、如圖1,
Rt△ABD中,∠ABD=90°,∠D=60°,
∴∠BAD=30°,
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,
∴∠AEB=90°,
∴tan∠BAE= =,
∴ AE= BE,
過(guò)點(diǎn)CCP⊥AEP,過(guò)點(diǎn)CCQ⊥EB交延長(zhǎng)線于Q,
由(1)知,EC是∠AEB的角平分線,
∴CP=CQ,
= = =

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