Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數分別與x軸、y軸相交于A、B兩點，二次函數的圖像經過點A．

（1）試證明二次函數的圖像與x軸有兩個交點；

（2）若二次函數圖像的頂點D在直線AB上，求m，n的值；

（3）設二次函數的圖像與x軸的另一個交點為點C，頂點D關于x軸的對稱點設為點E，以AE，AC為鄰邊作平行四邊形EACF，頂點F能否在該二次函數的圖像上？如果在，求出這個二次函數的表達式；如果不在，請說明理由？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）4，3；6，9（3）P（-1，）

【解析】

試題分析：（1）根據待定系數法求得二次函數的解析式，然后根據根的判別式可證明；

（2）根據二次函數的頂點坐標可求的m，n的值；

（3）根據B點的坐標求得m的值，即可得二次函數的解析式，然后設E點的橫坐標為t，求得E點的坐標，再求得直線AE，由此求得P點的坐標.

試題解析：（1）A（﹣3，0），B（0，﹣3），

二次函數的圖像經過點C（-6，18-n），則n=3m﹣9，

即.

∵==，

又，

∴，

則二次函數的圖像與x軸有兩個交點；

（2）二次函數，即

頂點坐標為（，），

因為二次函數圖像的頂點在直線AB上，

所以，解得：，，

則，；

（3）拋物線過點B（0，-3），

則m=2

此時函數關系式為，易證點A在拋物線上.

設點E的橫坐標為t，則（-3+1）（t +1）=

∴， 求得點E的坐標為（，），

則直線AE對應的函數關系式:，

求得點P（-1，）.