Question

【題目】如圖，已知MN是⊙O的直徑，直線PQ與⊙O相切于P點，NP平分∠MNQ．
（1）求證：NQ⊥PQ；
（2）若⊙O的半徑R=2，NP= ，求NQ的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)OP，如圖，

∴直線PQ與⊙O相切，

∴OP⊥PQ，

∵OP=ON，

∴∠ONP=∠OPN，

∵NP平分∠MNQ，

∴∠ONP=∠QNP，

∴∠OPN=∠QNP，

∴OP∥NQ，

∴NQ⊥PQ

（2）解：連結(jié)PM，如圖，

∵MN是⊙O的直徑，

∴∠MPN=90°，

∵NQ⊥PQ，

∴∠PQN=90°，

而∠MNP=∠QNP，

∴Rt△NMP∽Rt△NPQ，

∴ = ，即 = ，

∴NQ=3．

【解析】（1）連結(jié)OP，根據(jù)切線的性質(zhì)由直線PQ與⊙O相切得OP⊥PQ，再由OP=ON得到∠ONP=∠OPN，由NP平分∠MNQ得到∠ONP=∠QNP，利用等量代換得∠OPN=∠QNP，根據(jù)平行線的判定得OP∥NQ，所以NQ⊥PQ；（2）連結(jié)PM，根據(jù)圓周角定理由MN是⊙O的直徑得到∠MPN=90°，易證得Rt△NMP∽Rt△NPQ，然后利用相似比可計算出NQ的長．