Question

【題目】如圖所示，拋物線的頂點為，與軸交于、兩點，且，與軸交于點．

求拋物線的函數(shù)解析式；

求的面積；

能否在拋物線第三象限的圖象上找到一點，使的面積最大？若能，請求出點的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點的坐標是．

【解析】

(1)根據(jù)頂點坐標公式即可求得a、b、c的值,即可解題;
(2)易求得點B、C的坐標,即可求得OC的長,即可求得的面積,即可解題;
(3)作PE⊥x軸于點E,交AC于點F,可將的面積轉(zhuǎn)化為和的面積之和,而這兩個三角形有共同的底PF,這一個底上的高的和又恰好是A、C兩點間的距離,因此若設(shè)設(shè)E(x，0),則可用x來表示的面積,得到關(guān)于x的一個二次函數(shù),求得該二次函數(shù)最大值,即可解題.

設(shè)此函數(shù)的解析式為，

∵函數(shù)圖象頂點為，

∴，

又∵函數(shù)圖象經(jīng)過點，

∴

解得，

∴此函數(shù)的解析式為，即；

∵點是函數(shù)的圖象與軸的交點，

∴點的坐標是，

又當時，有，

解得，，

∴點的坐標是，

則；

假設(shè)存在這樣的點，過點作軸于點，交于點．

設(shè)，則，

設(shè)直線的解析式為，

∵直線過點，，

∴，

解得，

∴直線的解析式為，

∴點的坐標為，

則，

∴

，

∴當時，有最大值，

此時點的坐標是．