Question

（2010•徐匯區(qū)二模）已知如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=3，BC=9，，直線MN是梯形的對稱軸，點(diǎn)P是線段MN上一個動點(diǎn)（不與M、N重合），射線BP交線段CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥AB交射線BP于點(diǎn)F．
（1）求證：PC²=PE•PF；
（2）設(shè)PN=x，CE=y，試建立y和x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域；
（3）連接PD，在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，如果△EFC和△PDC相似，求出PN的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用相似三角形的判定定理求出△PEC∽△PCF，再利用相似三角形的性質(zhì)求出=；
（2）利用平行線的性質(zhì)得出=；
（3）利用逆推求PN的長．
解答：解：（1）∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCB，
∵直線MN是梯形的對稱軸，
∴PB=PC．
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠DCP，
∵AB∥CF
∴∠ABP=∠F
∴∠F=∠DCP．
∵∠EPC=∠FPC，
∴△PEC∽△PCF，
∴PC²=PE•PF；

（2）過點(diǎn)E作EG⊥BC于G．
∵，
∴．
由題意有EG∥MN，
∴，即，
∴y=（0＜x≤3）；

（3）（Ⅰ）當(dāng)∠PDC=∠DCF時，PD∥CF，
∴∠F=∠DPF，
∵AB∥CF，
∴∠ABF=∠DPF，
∴∠MDP=∠ABC，
∵tan∠MDP=tan∠ABC=，
∴，
∴x=2．
（Ⅱ）當(dāng)∠PDC=∠FEC=∠DEP時，過點(diǎn)P作PH⊥DE交AD的延長線于點(diǎn)O．
則．
∴∠ODC=∠DCB，
∴DO==，
又∵，
∴．
因?yàn)?都在定義域內(nèi)，所以當(dāng)x=或x=2時，△EFC和△PDC相似．
點(diǎn)評：主要考查相似三角形的判定定理及性質(zhì)和平行線的性質(zhì)．