Question

如圖：⊙O的直徑AB=12，AM和BN是它的兩條切線，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C，設(shè)AD=X，BC=Y，求Y與X的函數(shù)關(guān)系式，并畫出它的大致圖象．

Answer 1

【答案】分析：過D作DF垂直于CB，根據(jù)切線的性質(zhì)及垂直定義得到∠ADF，∠DAB，∠DFB為直角，可得四邊形ABFD為矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得DF=AB，AD=BF，又DA與DE為圓O的切線，根據(jù)切線長定理得到DA=DE，同理得到CE=CB，可得CD=CE+DE=AD+CB，表示出CD，CF=CB-FB=CB-AD，表示出CF，再由DF=AB，由AB的長得出DF的長，在直角三角形CDF中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x與y的關(guān)系式，整理后可得出y與x的反比例關(guān)系式，同時(shí)根據(jù)x表示線段長，可得x大于0，即反比例為第一象限的部分，畫出圖象即可．
解答：
解：過D作DF⊥CB，交CB于點(diǎn)F，
∵DA與DC都為圓O的切線，
∴DA=DE，
又CB與CE都為圓O的切線，
∴CB=CE，
又∠DAB=∠ABF=∠BFD=90°，
∴四邊形ABFD為矩形，
∴DA=FB，DF=AB，
在直角三角形CDF中，
∵AD=x，BC=y，AB=12，
∴CD=CE+ED=DA+CB=x+y，DF=AB=12，CF=CB-FB=y-x，
根據(jù)勾股定理得：CD²=DF²+CF²，
即（x+y）²=12²+（y-x）²，
化簡得：xy=36，即y=（x＞0）；
在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象，如圖所示．
點(diǎn)評：此題考查了切線長定理，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握切線長定理是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)注意輔助線的做法．