Question

（本題滿分12分）如圖，拋物線y=x2+bx－2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（一1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；

（3）點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ACM周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)及△ACM的最小周長(zhǎng)．

Answer 1

（1）y=x2-x-2；（, -）；（2）△ABC是直角三角形；（3），△ACM最小周長(zhǎng)是.

【解析】

試題分析：（1）用待定系數(shù)法求得b的值即可確定拋物線的解析式，然后求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)解析式求得點(diǎn)B和C的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)確定線段AB、BC、CA的長(zhǎng)，應(yīng)用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷；

（3）根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)完成線段和最短的計(jì)算.

試題解析：（1）∵點(diǎn)A（-1，0）在拋物線y=x2 + bx-2上，

∴× （-1 ）2 + b× （-1） –2 = 0，解得b =，

∴拋物線的解析式為y=x2-x-2．

∴y=（x-）2-,∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（, -）．

（2）當(dāng)x = 0時(shí)，y = -2，∴C（0，-2），OC = 2，

當(dāng)y = 0時(shí)，x2-x-2 = 0， ∴x1 = -1, x2 = 4,∴B （4,0），

∴OA = 1，OB = 4，AB = 5，

∵AB2 = 25，AC2 = OA2 + OC2 = 5，BC2 = OC2 + OB2 = 20，

∴AC2 +BC2 = AB2，∴△ABC是直角三角形．

（3）點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B， BC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC + MA的值最小，即△ACM周長(zhǎng)最小，

可求直線BC的解析式為，

∴，△ACM最小周長(zhǎng)是.

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求解析式；勾股定理的逆定理；應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)求線段和最短.

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：二次函數(shù) 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x 的二次函數(shù)。
①所謂二次函數(shù)就是說(shuō)自變量最高次數(shù)是2;
②二次函數(shù)（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數(shù)，自變量x 的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，b和c可以是任意實(shí)數(shù)，a是不等于0的實(shí)數(shù)，因?yàn)閍=0時(shí)，變?yōu)閥=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數(shù)，若b=0，則y=c是一個(gè)常數(shù)函數(shù)。
③二次函數(shù)（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯(lián)系，如果將變量y換成一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)二次函數(shù)就是一個(gè)一元二次函數(shù)。 二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）頂點(diǎn)式： （a，h，k是常數(shù)，a≠0）
（3）當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程有實(shí)根x₁和x₂存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒(méi)有交點(diǎn)，則不能這樣表示。

二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：
①函數(shù)的關(guān)系式是整式；
②自變量的最高次數(shù)是2；
③二次項(xiàng)系數(shù)不等于零。 二次函數(shù)的判定：
二次函數(shù)的一般形式中等號(hào)右邊是關(guān)于自變量x的二次三項(xiàng)式；
當(dāng)b=0，c=0時(shí)，y=ax²是特殊的二次函數(shù)；
判斷一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡(jiǎn)整理（去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)）后，能寫(xiě)成（a≠0）的形式，那么這個(gè)函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是。 試題屬性

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