Question

【題目】如圖，已知一次函數(shù)y= x+b的圖象與反比例函數(shù)y= （x＜0）的圖象交于點(diǎn)A（﹣1，2）和點(diǎn)B，點(diǎn)C在y軸上．

（1）當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng) x+b＜ 時(shí)，請(qǐng)直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交y軸于點(diǎn)C，此時(shí)點(diǎn)C即是所求，如圖所示．

∵反比例函數(shù)y= （x＜0）的圖象過點(diǎn)A（﹣1，2），

∴k=﹣1×2=﹣2，

∴反比例函數(shù)解析式為y=﹣ （x＜0）；

∵一次函數(shù)y= x+b的圖象過點(diǎn)A（﹣1，2），

∴2=﹣ +b，解得：b= ，

∴一次函數(shù)解析式為y= x+ ．

聯(lián)立一次函數(shù)解析式與反比例函數(shù)解析式成方程組： ，

解得： ，或 ，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，2）、點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4， ）．

∵點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（1，2），

設(shè)直線A′B的解析式為y=mx+n，

則有 ，解得： ，

∴直線A′B的解析式為y= x+ ．

令y= x+ 中x=0，則y= ，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0， ）．

（2）解：觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)x＜﹣4或﹣1＜x＜0時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方，

∴當(dāng) x+ ＜﹣ 時(shí)，x的取值范圍為x＜﹣4或﹣1＜x＜0．

【解析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、軸對(duì)稱中的最短線路問題、利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）求出直線A′B的解析式；（2）找出交點(diǎn)坐標(biāo)．本題屬于中檔題，難度不大，但解題過程稍顯繁瑣，解決該題型題目時(shí)，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．（1）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交y軸于點(diǎn)C，此時(shí)點(diǎn)C即是所求．由點(diǎn)A為一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法和反比例函數(shù)圖象點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，設(shè)出直線A′B的解析式為y=mx+n，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線A′B的解析式，令直線A′B解析式中x為0，求出y的值，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下關(guān)系結(jié)合點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，即可得出不等式的解集．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解確定一次函數(shù)的表達(dá)式的相關(guān)知識(shí)，掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法，以及對(duì)軸對(duì)稱-最短路線問題的理解，了解已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．