Question

如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點O為AD上一動點（4＜OA＜8），以O為圓心，OA的長為半徑的圓交邊CD于點M，連接OM，過點M作⊙O的切線交邊BC于N．
（1）求證：△ODM∽△MCN；
（2）設DM=x，求OA的長（用含x的代數(shù)式表示）；
（3）在點O的運動過程中，設△CMN的周長為P，試用含x的代數(shù)式表示P，你能發(fā)現(xiàn)怎樣的結(jié)論？

Answer 1

分析：（1）依題意可得∠OMC=∠MNC，然后可證得△ODM∽△MCN．
（2）設DM=x，OA=OM=R，OD=AD-OA=8-R，根據(jù)勾股定理求出OA的值．
（3）由1可求證△ODM∽△MCN，利用線段比求出CN，MN的值．然后可求出△CMN的周長等于CM+CN+MN，把各個線段消去代入可求出周長．

解答：（1）證明：∵MN切⊙O于點M，
∴∠OMN=90°；（1分）
∵∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°；
∴∠OMD=∠MNC；（2分）
又∵∠D=∠C=90°；
∴△ODM∽△MCN，（3分）

（2）解：在Rt△ODM中，DM=x，設OA=OM=R；
∴OD=AD-OA=8-R，（4分）
由勾股定理得：（8-R）²+x²=R²，（5分）
∴64-16R+R²+x²=R²，
∴OA=R=

x2+64

16

(0＜x＜8)；（6分）

（3）解法一：∵CM=CD-DM=8-x，
又∵OD=8-R=8-

x2+64

16

=

64-x2

16

，
且有△ODM∽△MCN，
∴

MC

OD

=

CN

DM

，
∴代入得到CN=

16x

x+8

；（7分）
同理

MC

OD

=

MN

OM

，
∴代入得到MN=

x2+64

x+8

；（8分）
∴△CMN的周長為P=CM+CN+MN=(8-x)+

16x

x+8

+

x2+64

x+8

=（8-x）+（x+8）=16．（9分）
發(fā)現(xiàn)：在點O的運動過程中，△CMN的周長P始終為16，是一個定值．（10分）
解法二：在Rt△ODM中，OD=8-R=8-

x2+64

16

=

64-x2

16

，
設△ODM的周長P′=OD+DM+OM=

64-x2

16

+x+

x2+64

16

=x+8；（7分）
而△MCN∽△ODM，且相似比k=

CM

OD

=(8-x)•

16

64-x2

=

16

8+x

；（8分）
∵

△MCN的周長P

△ODM的周長P′

=

16

8+x

，
∴△MCN的周長為P=(x+8)•

16

x+8

=16．（9分）
發(fā)現(xiàn)：在點O的運動過程中，△CMN的周長P始終為16，是一個定值．（10分）

點評：本題考查的是相似三角形的判定，正方形的判定，勾股定理、切線性質(zhì)和二次函數(shù)的綜合運用等有關知識．