圖中是一座下承式鋼管混凝土系桿拱橋,橋的拱肋ACB可視為拋物線的一部分,橋面(視為水平的)與拱肋用垂直于橋面的系桿連接,拱肋的跨度AB為280米,正中間系桿OC的長度為56米.以AB所在直線為x軸,OC所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.
(1)求與該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若相鄰系桿之間的間距均為5米(不考慮系桿的粗細(xì)),則是否存在一根系桿的長度恰好是OC長度的一半?請說明理由.
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分析:(1)設(shè)該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為:y=ax2+56,根據(jù)題意知道其上兩點,求出a,(2)設(shè)存在一根系桿的長度恰好是OC長度的一半,即為28米,解得x,然后再作討論.
解答:解:(1)∵AB=280,OC=56,
∴由題意可知:B(140,0),C(0,56),
設(shè)與該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為:y=ax2+56(2分)
則:0=a×1402+56
解得:a=-
1
350
(3分)
∴y=-
1
350
x2+56
(4分)

(2)設(shè)存在一根系桿的長度恰好是OC長度的一半,即為28米,則
28=-
1
350
x2+56
(5分)
解得x=±70
2
(6分)
∵相鄰系桿之間的間距均為5米
∴每根系桿上點的橫坐標(biāo)均為整數(shù),x=±70
2
與實際不符
∴不存在一根系桿的長度恰好是OC長度的一半(7分)
點評:本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用,運用二次函數(shù)解決實際問題,比較簡單.
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(1)求與該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若相鄰系桿之間的間距均為5米(不考慮系桿的粗細(xì)),則是否存在一根系桿的長度恰好是OC長度的一半?請說明理由.

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