Question

【題目】問題情境

如圖 1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分線 AB1 折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿∠B1A1C 的平分線 A1B2 折 疊，剪掉重疊部分；如此反復(fù)操作，沿 ∠Bn An C 的平分線 An Bn－1 折疊，點 Bn 與點 C 重合，我們就稱 ∠BAC是△ABC 的正角．

以圖 2 為例，△ABC 中，∠B=70°，∠C=35°，若沿∠BAC 的平分線 AB1 折疊，則∠AA1B=70°.沿 A1B1 剪掉重疊部分，在余下的△B1A1C 中，由三角形的內(nèi)角和定理可知∠A1B1C=35°，若沿∠B1A1C 的平分線 A1B2 第二次折疊，則點 B1 與點 C 重合. 此時，我們就稱∠BAC 是△ABC 的正角.

探究發(fā)現(xiàn)

（1）△ABC 中，∠B= 2∠C ，則經(jīng)過兩次折疊后，∠BAC 是不是△ABC 的正角？ （填“是”或“不是” ) .

（2）小明經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)∠BAC 是△ABC 的正角，則 ∠B 與∠C （不妨設(shè) ∠B ＞∠C ) 之間的等量關(guān)系 為 ．

根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過 n 次折疊 ∠BAC 是△ABC 的正角，則∠B 與 ∠C （不妨設(shè)∠B＞ ∠C ) 之間 的等量關(guān)系為 ．

應(yīng)用提升

（3）如果一個三角形的最小角是 10°，直接寫出此三角形另外兩個角的度數(shù)，使得此三角形的三個角均是 它的正角.

Answer 1

【答案】（1）是；（2） B 3C ； B nC；（3）10°；160°

【解析】

（1）仔細分析題意根據(jù)折疊的性質(zhì)及題中“正角”的定義即可作出判斷；

（2）因為經(jīng)過三次折疊∠BAC是△ABC的正角，所以第三次折疊的∠A2 B2C=∠C，由∠AB B1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C，由此即可求得結(jié)果；

（3）因為最小角是10°是△ABC的正角，根據(jù)正角定義，則可設(shè)另兩角分別為10m°，10mn°（其中m、n都是正整數(shù)），由題意得10m+10mn+10=180，所以m（n+1）=17，再根據(jù)m、n都是正整數(shù)可得m與n+1是17的整數(shù)因子，從而可以求得結(jié)果.

（1）∵沿∠BAC的平分線AB1折疊，

∴∠B=∠AA1B1；

又∵∠AA1B1=∠A1B1C+∠C且∠B= 2∠C

∴2∠C=∠A1B1C+∠C，得出∠C=∠A1B1C

又∵平分線A1B2

∴∠B1 A1 B2 =∠C A1 B2

∴ B1 A1 B2≌ C A1 B2

∴將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合，

∴∠BAC是不是△ABC的正角

故填：是；

（2）折疊的情況如下圖：

∵根據(jù)折疊的性質(zhì)知：∠B=∠AA1B1，∠A1B1C=∠A1A2B2，∠C=∠A2B2C，

∴∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；

∴∠AA1B1=∠A1B1C+∠C=∠A1A2B2+∠C=2∠C+∠C=3∠C

∴∠B=∠AA1B1=3∠C，即∠B=3∠C

故填：∠B=3∠C；

由折疊1次知，當(dāng)∠B=∠C時，∠BAC是△ABC的正角；

由折疊2次知，當(dāng)∠B=2∠C時，∠BAC是△ABC的正角；

由折疊3次知，當(dāng)∠B=3∠C時，∠BAC是△ABC的正角；

故若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的正角,則∠B與∠C(不妨設(shè)∠B>∠C)之間的等量關(guān)系為∠B=n∠C

故填：∠B=n∠C；

（3）由∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的正角，

因為最小角是10°是△ABC的正角，

根據(jù)正角定義,則可設(shè)另兩角分別為10m°,10mn°(其中m、n都是正整數(shù))，

由題意,得10m+10mn+10=180,所以m(n+1)=,17，

∵m、n都是正整數(shù)，所以m與n+1是17的整數(shù)因子，

∴m=1，n+1=17，

∴m=1，n=16，

∴10m=10°,10mn=160°，

∴該三角形的另外兩個角的度數(shù)分別為：10°、160°.