(2013•海南)如圖,二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點A(-3,0)、B(-1,0),與y軸相交于點C(0,3),點P是該圖象上的動點;一次函數(shù)y=kx-4k(k≠0)的圖象過點P交x軸于點Q.
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)當點P的坐標為(-4,m)時,求證:∠OPC=∠AQC;
(3)點M,N分別在線段AQ、CQ上,點M以每秒3個單位長度的速度從點A向點Q運動,同時,點N以每秒1個單位長度的速度從點C向點Q運動,當點M,N中有一點到達Q點時,兩點同時停止運動,設運動時間為t秒.連接AN,當△AMN的面積最大時,
①連接AN,當△AMN的面積最大時,求t的值;
②線段PQ能否垂直平分線段MN?若能,請求出此時點P的坐標;若不能,請說明你的理由.
分析:(1)利用交點式求出拋物線的解析式;
(2)證明四邊形POQC是平行四邊形,則結論得證;
(3)①求出△AMN面積的表達式,利用二次函數(shù)的性質,求出△AMN面積最大時t的值.注意:由于自變量取值范圍的限制,二次函數(shù)并不是在對稱軸處取得最大值;
②由于直線PQ上的點到∠AQC兩邊的距離不相等,則直線PQ不能平分∠AQC,所以直線PQ不能垂直平分線段MN.
解答:(1)解:設拋物線的解析式為:y=a(x+3)(x+1),
∵拋物線經(jīng)過點C(0,3),
∴3=a×3×1,解得a=1.
∴拋物線的解析式為:y=(x+3)(x+1)=x2+4x+3.

(2)證明:在拋物線解析式y(tǒng)=x2+4x+3中,當x=-4時,y=3,∴P(-4,3).
∵P(-4,3),C(0,3),
∴PC=4,PC∥x軸.
∵一次函數(shù)y=kx-4k(k≠0)的圖象交x軸于點Q,當y=0時,x=4,
∴Q(4,0),OQ=4.
∴PC=OQ,又∵PC∥x軸,
∴四邊形POQC是平行四邊形,
∴∠OPC=∠AQC.

(3)解:①在Rt△COQ中,OC=3,OQ=4,由勾股定理得:CQ=5.
如答圖1所示,過點N作ND⊥x軸于點D,則ND∥OC,

∴△QND∽△QCO,
ND
OC
=
NQ
CQ
,即
ND
3
=
5-t
5
,解得:ND=3-
3
5
t.
設S=S△AMN,則:
S=
1
2
AM•ND=
1
2
•3t•(3-
3
5
t)=-
9
10
(t-
5
2
2+
45
8

又∵AQ=7,∴點M到達終點的時間為t=
7
3
,
∴S=-
9
10
(t-
5
2
2+
45
8
(0<t≤
7
3
).
∵-
9
10
<0,
7
3
5
2
,且x<
5
2
時,y隨x的增大而增大,
∴當t=
7
3
時,△AMN的面積最大.
②假設直線PQ能夠垂直平分線段MN,則有QM=QN,且PQ⊥MN,PQ平分∠AQC.
由QM=QN,得:7-3t=5-t,解得t=1.
這與t=
7
3
相矛盾,所以直線PQ不能垂直平分線段MN.
∴直線PQ不能垂直平分線段MN.
點評:本題是二次函數(shù)綜合題型,考查了二次函數(shù)的圖象與性質、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、相似三角形、平行四邊形、角平分線的性質、二次函數(shù)的最值等知識點.試題難度不大,需要注意的是(3)①問中,需要注意在自變量取值區(qū)間上求最大值,而不能機械地套用公式.
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40
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