Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，等邊三角形DEF從初始位置（點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，EF落在BC上，如圖1所示）在線段BC上沿BC方向以每秒1個(gè)單位的速度平移，DE、DF分別與AB相交于點(diǎn)M、N．當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，△DEF停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)D恰好落在AB上．在△DEF開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，如果點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度從D點(diǎn)出發(fā)沿DE→EF運(yùn)動(dòng)，最終運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)．若設(shè)△DEF平移的時(shí)間為x秒，△PMN的面積為y．
（1）△DEF的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，P點(diǎn)與M點(diǎn)重合？
（3）當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)，x為何值時(shí)，△PMN是直角三角形？
（4）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，△PMN的面積最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知：當(dāng)F與C點(diǎn)重合時(shí)D正好在AB上，此時(shí)三角形ACD中，∠ACD=90°-60°=30°，而∠A=60°，因此∠ADC=90°，可在直角三角形BCD中，根據(jù)∠B的正弦值及BC的長(zhǎng)求出等邊三角形的邊長(zhǎng)；
（2）根據(jù)∠BME=∠DEF-∠B=60°-30°=30°，得出∠BME=∠B，進(jìn)而得出BE=ME=x，DM=3-x，求出x即可；
（3）根據(jù)當(dāng)0≤x≤1時(shí)，①當(dāng)x=0時(shí)，△PMN是直角三角形；②過(guò)N作NP⊥DE于P，此時(shí)△PMN是直角三角形，求出x即可；
當(dāng)時(shí)，△PMN是鈍角三角形，不可能是直角三角形．
（4）當(dāng)P與M重合時(shí)，那么根據(jù)P的速度可表示出DM的長(zhǎng)，而ME=BE為三角形平移的距離，據(jù)此可求出x=1．當(dāng)P到達(dá)E點(diǎn)時(shí)，DP=DE，可求得此時(shí)x=．
①當(dāng)P在DM之間時(shí)，即0≤x≤1，MN的長(zhǎng)可在直角三角形DMN中，根據(jù)DM和∠DMN的余弦值求出，過(guò)P作PP₁⊥MN于P₁，那么PP₁就是MN邊上的高，可在直角三角形MPP₁中根據(jù)MP的長(zhǎng)和∠PMP₁的正弦值求出（MP可根據(jù)DE-DP-ME來(lái)得出）．據(jù)此可得出關(guān)于S，x函數(shù)關(guān)系式．
②當(dāng)P在EM之間時(shí)，即1＜x≤，可過(guò)P作PP₂⊥AB與P₂，那么PP₂的長(zhǎng)可在直角三角形PP₂M中，根據(jù)PM的長(zhǎng)和∠BME的正弦值求出，進(jìn)而可根據(jù)三角形的面積公式求出S、x的函數(shù)關(guān)系式．
③當(dāng)P在EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即≤x≤3，解法同上．
根據(jù)上述三種情況得出的函數(shù)的性質(zhì)及各自的自變量的取值范圍，可求得S的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值．
解答：（1）解：當(dāng)F點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，如圖1所示：
∵△DEF為等邊三角形，
∴∠DFE=60°
∵∠B=30°，
∴∠BDF=90°
∴FD=BC=3；
故答案為：3；

（2）解：∵∠BME=∠DEF-∠B=60°-30°=30°，
∴∠BME=∠B，
∴BE=ME=x，DM=3-x，
當(dāng)P點(diǎn)與M點(diǎn)重合時(shí)，有2x+x=3，
∴x=1；

（3）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，
①當(dāng)x=0時(shí)，△PMN是直角三角形；
②過(guò)N作NP⊥DE于P，此時(shí)△PMN是直角三角形．
∵M(jìn)P=DE-DP-ME=3-2x-x=3-3x，
，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，△PMN是鈍角三角形，不可能是直角三角形，
即當(dāng)x=0或時(shí)，△PMN是直角三角形．

（4）①當(dāng)0≤x≤1時(shí)，過(guò)P點(diǎn)作PP₁⊥AB，垂足為P₁，
在Rt△PMP₁中，PM=3-x-2x=3-3x，
∴，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=×（3-x）×（1-x），
=（x²-4x+3），
②當(dāng)時(shí)，過(guò)P點(diǎn)作PP₂⊥AB，垂足為P₂，
在Rt△PMP₂中，PM=x-（3-2x）=3（x-1），
∴，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=×（3-x）×（x-1），
=-（x²-4x+3）；
③當(dāng)時(shí)，過(guò)P點(diǎn)作PP₃⊥AB，垂足為P₃，
在Rt△PMP₃中，PB=x+（2x-3）=3（x-1），
∴，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：
y=×（3-x）×（x-1），
=-（x²-4x+3），
=-（x-2）²+，
∴當(dāng)x=2時(shí)，，
而當(dāng)P點(diǎn)在D點(diǎn)時(shí)，x=0，
y=×3××=，
∵，
∴當(dāng)P點(diǎn)在D點(diǎn)時(shí)，△PMN的面積最大．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，此題應(yīng)注意分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用．