Question

【題目】某市新建了圓形文化廣場(chǎng)，小杰和小浩準(zhǔn)備不同的方法測(cè)量該廣場(chǎng)的半徑.

（1）小杰先找圓心，再量半徑，請(qǐng)你在圖1中，用尺規(guī)作圖的方法幫小杰找到該廣場(chǎng)的圓心（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）小浩在廣場(chǎng)邊（如圖2）選取、、三根石柱，量得、之間的距離與、之間的距離相等，并測(cè)得長(zhǎng)為240米，到的距離為5米.請(qǐng)你幫他求出廣場(chǎng)的半徑；

（3）請(qǐng)你解決下面的問(wèn)題：如圖3，的直徑為，弦，是弦上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求出的長(zhǎng)度范圍是多少？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）廣場(chǎng)的半徑1443米；（3）.

【解析】

（1）作出弦的垂直平分線，再結(jié)合垂徑定理推論得出圓心位置；

（2）設(shè)圓心為O，連結(jié) OA、OB，OA交BC于D，根據(jù)A、B之間的距離與A、C之間的距離相等，得出，從而得出BD=DC=BC，再根據(jù)勾股定理得出OB2=OD2+BD2，設(shè)OB=x，即可求出廣場(chǎng)的半徑；

（3）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，連接OB，由垂徑定理可知AE=BE=AB，再根據(jù)勾股定理求出OE的長(zhǎng)，由此可得出結(jié)論．

解：如圖1所示，在圓中作任意2條弦的垂直平分線，由垂徑定理可知這2條垂直平分線必定與圓的2條直徑重合，所以交點(diǎn)即為所求；

（2）如圖2，連結(jié)、，交于，

∵，

∴，

∴，

∴（米），

由題意，

在中，，

設(shè)，則，

解得：，

，

∴廣場(chǎng)的半徑1443米.

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

∵，

∴，

∵的直徑為，

∴，

∴，

∵垂線段最短，半徑最長(zhǎng)，

∴.