【題目】如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,P是BC邊上一動點(不含B、C兩點),將 ABP沿直線AP翻折,點B落在點E處;在CD上有一點M,使得將 CMP沿直線MP翻折后,點C落在直線PE上的點F處,直線PE交CD于點N,連接MA,NA.則以下結論中正確的個數(shù)有( ).

CMP∽ BPA;
②四邊形AMCB的面積最大值為10;
③當P為BC中點時,AE為線段NP的中垂線;
④線段AM的最小值為2 ;
⑤當 ABP≌ AND時,BP=4 -4.
A.①②③
B.②③⑤
C.①④⑤
D.①②⑤

【答案】D
【解析】解:∵∠APB=∠APE,∠MPC=∠MPN,
∵∠CPN+∠NPB=180°,
∴2∠NPM+2∠APE=180°,
∴∠MPN+∠APE=90°,
∴∠APM=90°,
∵∠CPM+∠APB=90°,∠APB+∠PAB=90°,
∴∠CPM=∠PAB,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=CB=DC=AD=4,∠C=∠B=90°,
∴△CMP∽△BPA.故①正確,
設PB=x,則CP=4-x,
∵△CMP∽△BPA,
=
∴CM=x(4-x),
∴S四邊形AMCB=[4+x(4-x)]×4=-x2+2x+8=-(x-2)2+10,
∴x=2時,四邊形AMCB面積最大值為10,故②正確,
易證得△ADN≌△AEN,當PB=PC=PE=2時,設ND=NE=y,
在RT△PCN中,(y+2)2=(4-y)2+22解得y=
∴NE≠EP,故③錯誤,
作MG⊥AB于G,
∵AM==
∴AG最小時AM最小,
∵AG=AB-BG=AB-CM=4-x(4-x)=(x-2)2+3,
∴x=2時,AG最小值=3,
∴AM的最小值==5,故④錯誤.
∵△ABP≌△ADN時,
∴∠PAB=∠DAN=22.5°,在AB上取一點K使得AK=PK,設PB=z,
∴∠KPA=∠KAP=22.5°
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°,
∴∠BPK=∠BKP=45°,
∴PB=BK=z,AK=PK=z,
∴z+z=4,
∴z=4-4,
∴PB=4-4,故⑤正確.
故正確的為①②⑤.
故選D.
【考點精析】關于本題考查的相似三角形的判定與性質,需要了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案.

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18

20

22

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200

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