【題目】①如圖,四邊形ABCD中,對角線相交于點O,E、F、G、H分別是AD,BD,BC,AC的中點.
(1)求證:四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)當四邊形ABCD滿足一個什么條件時,四邊形EFGH是菱形?并證明你的結論;
②如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為BC中點,CE⊥AD于E,BF∥AC,交CE的延長線與點F.求證:AB垂直平分DF.
【答案】①(1)見解析;(2)見解析; ②見解析.
【解析】
①(1)由三角形中位線知識可得EF=GH,EF∥GH,繼而可得四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)要是菱形,只需增加相鄰兩邊相等,如要得到EF=GF,由中位線知識,只須AB=CD.
②由FB∥AC,∠ACB=90°可得∠FBC=90°,繼而可得∠DBA=45°,通過證明Rt△ADC≌Rt△FBC,可得DB=FB,繼而可證得答案.
①(1)∵E、F分別是AD、BD中點,
∴EF∥AB,EF=AB,
同理GH∥AB,GH=AB,
∴EF=GH,EF∥GH,
∴四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)當四邊形ABCD滿足AB=CD時,四邊形EFGH是菱形,證明如下:
∵F、G分別是BD、BC中點,∴GF=CD,
∵AB=CD,∴EF=GF,
又∵四邊形EFGH是平行四邊形,
∴四邊形EFGH是菱形;
②∵∠ACB=90°,Rt△ADC中,∠1+∠2=90°,
∵AD⊥CF,在Rt△EDC中,∠3+∠2=90°,得:∠1=∠3,
∵FB∥AC,∠ACB=90°,∴∠FBC=90°,得:△FBC是直角三角形,
∵AC=BC,∠1=∠3,△FBC是直角三角形,
∴Rt△ADC≌Rt△FBC,
∴CD=FB,∵CD=DB,∴DB=FB,
∵AC=BC、∠ACB=90°,∴∠4=45°,∴AB是∠CBF平分線,
所以,AB垂直平分DF(等腰三角形中的三線合一定理).
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E為CD上一點,連接AE,BD,且AE,BD相交于點F,DE:EC=2:3,則S△DEF:S△ABF等于( )
A.4:25
B.4:9
C.9:25
D.2:3
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【題目】長江汛期即將來臨,防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈,便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況.如圖1,燈A射線自AM順時針旋轉至AN便立即回轉,燈B射線自BP順時針旋轉至BQ便立即回轉,兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉動的速度是a°/秒,燈B轉動的速度是b°/秒,且a、b滿足|a-3b|+(a+b-4)=0.假定這一帶長江兩岸河堤是平行的,即PQ∥MN,且∠BAN=45°
(1)求a、b的值;
(2)若燈B射線先轉動20秒,燈A射線才開始轉動,在燈B射線到達BQ之前,A燈轉動幾秒,兩燈的光束互相平行?
(3)如圖2,兩燈同時轉動,在燈A射線到達AN之前.若射出的光束交于點C,過C作CD⊥AC交PQ于點D,則在轉動過程中,∠BAC與∠BCD的數(shù)量關系是否發(fā)生變化?若不變,請求出其數(shù)量關系;若改變,請求出其取值范圍.
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【題目】一直尺與一缺了一角的等腰直角三角板如圖擺放,若∠1=115°,則∠2的度數(shù)為( 。
A.65°B.70°C.75°D.80°
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【題目】如圖,在矩形AOBC中,O為坐標原點,OA、OB分別在x軸、y軸上,點B的坐標為(0,3),∠ABO=30°,將△ABC沿AB所在直線對折后,點C落在點D處,則點D的坐標為( )
A. (,)B. (2,)C. (,)D. (,3﹣)
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【題目】游泳是一項深受青少年喜愛的體育活動,學校為了加強學生的安全意識,組織學生觀看了紀實片“孩子,請不要私自下水”,并于觀看后在本校的2000名學生中作了抽樣調查.請根據(jù)下面兩個不完整的統(tǒng)計圖回答以下問題:
(1)這次抽樣調查中,共調查了__ __名學生;
(2)補全兩個統(tǒng)計圖;
(3)根據(jù)抽樣調查的結果,估算該校2000名學生中大約有多少人“一定會下河游泳”?
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【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,點E,F(xiàn)分別在BC,AB上,點M在BA的延長線上,且CE=BF=AM,過點M,E分別作NM⊥DM,NE⊥DE交于N,連接NF.
(1)求證:DE⊥DM;
(2)猜想并寫出四邊形CENF是怎樣的特殊四邊形,并證明你的猜想.
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【題目】如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖. 為了提高傳送過程的安全性,工人師傅欲減小傳送帶與地面的夾角,使其由45°改為30°. 已知原傳送帶AB長為4米.
(1)求新傳送帶AC的長度;
(2)如果需要在貨物著地點C的左側留出2米的通道,試判斷距離B點4米的貨物 是否需要挪走,并說明理由.
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【題目】在平行四邊形ABCD中,P為對角線BD上任意一點,連接PA、PC,得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA,設它們的面積分別是S1、S2、S3、S4 , 給出如下結論:①S1=S2;②S1+S2=S3;③S1+S3=S2+S4;④若S1S3=S2S4 , 其中正確結論的序號是 . (在橫線上填上你認為所有正確答案的序號)
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