如圖,把兩個(gè)全等的Rt△AOB和Rt△COD分別置于平面直角坐標(biāo)系中,使直角邊OB、OD在x軸上.已知點(diǎn)A(1,2),過A、C兩點(diǎn)的直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)E、F.拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、A、C三點(diǎn).

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點(diǎn)P為線段OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N,問是否存在這樣的點(diǎn)P,使得四邊形ABPM為等腰梯形?若存在,求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)若△AOB沿AC方向平移(點(diǎn)A始終在線段AC上,且不與點(diǎn)C重合),△AOB在平移過程中與△COD重疊部分面積記為S.試探究S是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

(1)y=x2+x;(2)();(3)

解析試題分析:(1)由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)O、A、C即可根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,由PN∥CD,可證得△OPN∽△OCD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得PN=,則可得點(diǎn)P坐標(biāo)為(t,),由點(diǎn)M在拋物線上可得M(t,t2+t),過M點(diǎn)作MG⊥AB于G,過P點(diǎn)作PH⊥AB于H,則AG=yA﹣yM=2﹣(t2+t)=t2t+2,BH=PN=,當(dāng)AG=BH時(shí),四邊形ABPM為等腰梯形,即可得到關(guān)于t的方程,解出即可得到結(jié)果;
(3)如解答圖2,△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′,A′B′交x軸于T,交OC于Q,A′O′交x軸于K,交OC于R.求得過A、C的直線為yAC=﹣x+3,可設(shè)點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)為a,則點(diǎn)A′(a,﹣a+3),易知△OQT∽△OCD,可得QT=,OH=2RH,即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo),從而表示出A′Q的長(zhǎng),先求出tan∠O′A′B′=tan∠OAB=,即可表示出KT、OK,過點(diǎn)R作RH⊥x軸于H,先表示出S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果.
(1)∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)O、A、C,
可得c=0,∴
解得a=,b=,
∴拋物線解析式為y=x2+x.
(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,∵PN∥CD,∴△OPN∽△OCD,可得PN=
∴P(t,),∵點(diǎn)M在拋物線上,∴M(t,t2+t).
如解答圖1,過M點(diǎn)作MG⊥AB于G,過P點(diǎn)作PH⊥AB于H,
AG=yA﹣yM=2﹣(t2+t)=t2t+2,BH=PN=
當(dāng)AG=BH時(shí),四邊形ABPM為等腰梯形,
t2t+2=
化簡(jiǎn)得3t2﹣8t+4=0,解得t1=2(不合題意,舍去),t2=,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,
∴存在點(diǎn)P(,),使得四邊形ABPM為等腰梯形.
(3)如解答圖2,△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′,A′B′交x軸于T,交OC于Q,A′O′交x軸于K,交OC于R.
求得過A、C的直線為yAC=﹣x+3,可設(shè)點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)為a,則點(diǎn)A′(a,﹣a+3),

易知△OQT∽△OCD,可得QT=,OH=2RH
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a,).
A′Q=﹣a+3﹣=(3﹣a)
∵AB=2,OB=1,∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=,
∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=(﹣a+3)•=a+,
∴OK=OT﹣KT=a﹣(a+)=a﹣,
過點(diǎn)R作RH⊥x軸于H,
∵tan∠OAB=tan∠KRH==2,
∴RH=2KH,OH=4RH=2a﹣2
∴HT=a-(2 a﹣2)=2-a
S四邊形RKTQ=SA′KT﹣SA′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•HT
=•(3﹣a)﹣•(3﹣a)•(﹣a+2)
=a2+a﹣=(a﹣2+
由于<0,
∴在線段AC上存在點(diǎn)A′(,),能使重疊部分面積S取到最大值,最大值為

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如圖,把兩個(gè)全等的腰長(zhǎng)為8的等腰直角三角形沿他們的斜邊拼接得到四邊形ABCD,N是斜邊AC上一精英家教網(wǎng)動(dòng)點(diǎn).
(1)若E、F為AC的三等分點(diǎn),求證:∠ADE=∠CBF;
(2)若M是DC上一點(diǎn),且DM=2,求DN+MN的最小值;
(注:計(jì)算時(shí)可使用如下定理:在直角△ABC中,若∠C=90°,則AB2=AC2+BC2
(3)若點(diǎn)P在射線BC上,且NB=NP,求證:NP⊥ND.

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(2012•衢州)如圖,把兩個(gè)全等的Rt△AOB和Rt△COD分別置于平面直角坐標(biāo)系中,使直角邊OB、OD在x軸上.已知點(diǎn)A(1,2),過A、C兩點(diǎn)的直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)E、F.拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、A、C三點(diǎn).
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點(diǎn)P為線段OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N,問是否存在這樣的點(diǎn)P,使得四邊形ABPM為等腰梯形?若存在,求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)若△AOB沿AC方向平移(點(diǎn)A始終在線段AC上,且不與點(diǎn)C重合),△AOB在平移過程中與△COD重疊部分面積記為S.試探究S是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(2013•石景山區(qū)一模)如圖,把兩個(gè)全等的Rt△AOB和Rt△ECD分別置于平面直角坐標(biāo)系xOy中,使點(diǎn)E與點(diǎn)B重合,直角邊OB、BC在y軸上.已知點(diǎn)D (4,2),過A、D兩點(diǎn)的直線交y軸于點(diǎn)F.若△ECD沿DA方向以每秒
2
個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速平移,設(shè)平移的時(shí)間為t(秒),記△ECD在平移過程中某時(shí)刻為△E′C′D′,E′D′與AB交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)N,C′D′與AB交于點(diǎn)Q,與y軸交于點(diǎn)P(注:平移過程中,點(diǎn)D′始終在線段DA上,且不與點(diǎn)A重合).
(1)求直線AD的函數(shù)解析式;
(2)試探究在△ECD平移過程中,四邊形MNPQ的面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值及t的取值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)以MN為邊,在E′D′的下方作正方形MNRH,求正方形MNRH與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)t的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年四川德陽(yáng)市九年級(jí)下學(xué)期第一次月考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

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