Question

如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，AD⊥BC,點P為邊AB 上一個動點，過P點作PF//AC交線段BD于點F,作PG⊥AB交AD于點E,交線段CD于點G,設BP=x.

（1）①填空：如果BP=,則BG=       ;
②用x的代數(shù)式表示線段DG的長,并直接寫出自變量x的取值范圍;
（2）記△DEF的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關系式。
（3）當以P、E、F為頂點的三角形與△EDG相似時，請求出BP的長。

Answer 1

（1）BG=；ＤＧ＝2x－1、 （2）S=（3）

試題分析：（1）①在邊長為2的等邊△ABC中，所以；作PG⊥AB交AD于點E,交線段CD于點G，，在三角形BPG中，由三角形內角和定理知，因為BP=，所以BG= 

②∵ＰＦ／／ＡＣ，∴△ＰＢＦ為等邊三角形，∴ＢＦ＝ＰＦ＝ＰＢ＝x.
又∵ＢＧ＝2x，ＢＤ＝1，∴ＤＧ＝2x－1，∴０＜2x－1≤１，∴. 
（2）S=DE×DF=
= 
（3）①如圖１，若∠ＰＦＥ＝∠EDG=90，∵∠EGD =∠FPE ∴∽△ＥＤＧ，∴∠EFD=∠EGD=30 ∴EF=EG 
∵AD⊥BC   ∴ＤＦ＝ＤＧ   即解得：． 
②如圖２，若∠ＰＥＦ＝∠EDG=90時，∵∠EGD =∠FPE ∴∽△DEG 
∵∠FED=30

∴ＤＦ＝ＥＦ＝ＢＰ，
即．解得： 
點評：本題考查直角三角形，等邊三角形，相似三角形，解答本題需要掌握直角三角形，等邊三角形的性質，熟悉相似三角形的證明方法，會證明兩個三角形相似