Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)B、C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P，且對(duì)稱軸為直線x=2．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）連接PB、PC，求△PBC的面積；

（3）連接AC，在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）存在兩點(diǎn)Q1（0，0），Q2（，0），能使得以點(diǎn)P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，已知對(duì)稱軸的解析式以及B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出A的坐標(biāo)，利用拋物線過A、B、C三點(diǎn)，可用待定系數(shù)法來求函數(shù)的解析式

（2）首先利用各點(diǎn)坐標(biāo)得出得出△PBC是直角三角形，進(jìn)而得出答案；

（3）本題要先根據(jù)拋物線的解析式求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后求出BP的長，進(jìn)而分情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)，∠PBQ=∠ABC=45°時(shí)，根據(jù)A、B的坐標(biāo)可求出AB的長，根據(jù)B、C的坐標(biāo)可求出BC的長，已經(jīng)求出了PB的長度，那么可根據(jù)比例關(guān)系式得出BQ的長，即可得出Q的坐標(biāo)．

②當(dāng)，∠QBP=∠ABC=45°時(shí)，可參照①的方法求出Q的坐標(biāo)．

③當(dāng)Q在B點(diǎn)右側(cè)，即可得出∠PBQ≠∠BAC，因此此種情況是不成立的，綜上所述即可得出符合條件的Q的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸相交于點(diǎn)B，∴當(dāng)y=0時(shí)，x=3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），∵y=﹣x+3過點(diǎn)C，易知C（0，3），∴c=3．

又∵拋物線過x軸上的A，B兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為x=2，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．

又∵拋物線過點(diǎn)A（1，0），B（3，0），∴，解得：，∴該拋物線的解析式為：；

（2）如圖1，∵=，又∵B（3，0），C（0，3），∴PC===，PB==，∴BC===，又∵=2+18=20，=20，∴，∴△PBC是直角三角形，∠PBC=90°，∴S△PBC=PBBC==3；

（3）如圖2，由=，得P（2，﹣1），設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M，∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，∴∠PBM=45°，PB=．

由點(diǎn)B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，由勾股定理，得BC=．

假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

①當(dāng)，∠PBQ=∠ABC=45°時(shí)，△PBQ∽△ABC．

即，解得：BQ=3，又∵BO=3，∴點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，∴Q1的坐標(biāo)是（0，0）．

②當(dāng)，∠QBP=∠ABC=45°時(shí)，△QBP∽△ABC．

即，解得：QB=．

∵OB=3，∴OQ=OB﹣QB=3﹣=，∴Q2的坐標(biāo)是（，0）．

③當(dāng)Q在B點(diǎn)右側(cè)，則∠PBQ=180°﹣45°=135°，∠BAC＜135°，故∠PBQ≠∠BAC．

則點(diǎn)Q不可能在B點(diǎn)右側(cè)的x軸上．

綜上所述，在x軸上存在兩點(diǎn)Q1（0，0），Q2（，0），能使得以點(diǎn)P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．