Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：

對(duì)于⊙C及⊙C外一點(diǎn)P，M，N是⊙C上兩點(diǎn)，當(dāng)∠MPN最大，稱∠MPN為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的“視角”．直線l與⊙C相離，點(diǎn)Q在直線l上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q關(guān)于⊙C的“視角”最大時(shí)，則稱這個(gè)最大的“視角”為直線l關(guān)于⊙C的“視角”．

（1）如圖，⊙O的半徑為1，

①已知點(diǎn)A（1，1），直接寫出點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“視角”；已知直線y = 2，直接寫出直線y = 2關(guān)于⊙O的“視角”；

②若點(diǎn)B關(guān)于⊙O的“視角”為60°，直接寫出一個(gè)符合條件的B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）⊙C的半徑為1，

①C的坐標(biāo)為（1，2），直線l: y=kx + b（k > 0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（，0），若直線l關(guān)于⊙C的“視角”為60°，求k的值；

②圓心C在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，若直線y =x +關(guān)于⊙C的“視角”大于120°，直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)xC的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）① 90，60；②本題答案不唯一，如：B (0，2)；（3）.

【解析】試題分析：

（1）由題意可知，點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“視角”是指從點(diǎn)P引出兩條射線，當(dāng)兩條射線和⊙O相切時(shí)，兩條射線所形成的的夾角就是點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“視角”；直線關(guān)于⊙O的“視角”是指當(dāng)直線與⊙O相離時(shí)，直線上的點(diǎn)Q距離圓心O最近時(shí)，點(diǎn)Q關(guān)于⊙O的“視角”就是直線關(guān)于⊙O的“視角”；由此可根據(jù)已知條件解答第一問(wèn)；

（2）①由題意可知，若直線l關(guān)于⊙C的“視角”為60°，則說(shuō)明在直線上存在一點(diǎn)P距離點(diǎn)C最近，且點(diǎn)P關(guān)于⊙C的“視角”為60°，則此時(shí)點(diǎn)P是與以點(diǎn)C為圓心，2為半徑的圓相切的切點(diǎn)，如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥軸于點(diǎn)H，PE⊥軸于點(diǎn)E，由已知分析可得DP=DH=，∠PDE=60°，在△PDE中可求得DE和PE的長(zhǎng)，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，把P、D的坐標(biāo)代入直線的解析式可求得k的值；

②如圖2，由已知易得直線與軸相交于點(diǎn)A（-1，0），與軸相交于點(diǎn)B（0， ），若此時(shí)直線關(guān)于⊙C的視角∠EPF=120°，由已知條件求得OC的長(zhǎng)，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；如圖3，當(dāng)沿著軸向左移動(dòng)時(shí)，直線關(guān)于⊙C的視角會(huì)變大，當(dāng)直線和⊙C相切于點(diǎn)P時(shí)，由已知條件可求得OC的長(zhǎng)，可得此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；綜合起來(lái)可得的取值范圍.

試題解析：

（1）①如下圖，當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，易得點(diǎn)A關(guān)于⊙O的視角為90°；

∵直線y=2上距離圓心O最近的點(diǎn)是直線y=2與y軸的交點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的兩條切線PC、PD，切點(diǎn)為C、D，則直線y=2關(guān)于⊙O的視角是∠CPD，連接OD，由已知條件可求得∠OPD=30°，∴∠CPD=60°，即直線y=2關(guān)于⊙O的視角為60°.

②由①中第2小問(wèn)可知，滿足條件的點(diǎn)B在以O為圓心，2為半徑的圓上，這樣的點(diǎn)很多，比如說(shuō)點(diǎn)B（0，2）.

（2）①∵直線l: y=kx + b（k > 0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（，0），

∴.

∴.

∴直線l: .

設(shè)點(diǎn)P在直線上，若點(diǎn)P關(guān)于⊙C的“視角”為60°，則點(diǎn)P在以C為圓心，2為半徑的圓上．

∵直線l關(guān)于⊙C的 “視角”為60°，

∴此時(shí)，點(diǎn)P是直線l上與圓心C的距離最短的點(diǎn).

∴CP⊥直線l.

即直線l是以C為圓心，2為半徑的圓的一條切線，如圖1所示．

作過(guò)點(diǎn)C作CH⊥軸于點(diǎn)H，PE⊥軸于點(diǎn)E，

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1，0），

又∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為，

∴DH ==PD．

∴tan∠CDH=，

∴∠CDH=30°，∠PDH=60°，

∴DE=PDcos60°=，PE= PDsin60°=3，

∴OE=DH-DE-OH=，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（，3）．

把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入l: ，解得： k=．

②如圖2，由已知易得直線與軸相交于點(diǎn)A（-1，0），與軸相交于點(diǎn)B（0， ），

若此時(shí)直線關(guān)于⊙C的視角∠EPF=120°，

則∠EPC=60°，∠PEC=90°，CE=1，∴∠PCE=30°，

∴PC=，AC=，

∴OC=AC-OA=，

∴此時(shí)=；

如圖3，當(dāng)沿著軸向左移動(dòng)時(shí)，直線關(guān)于⊙C的視角會(huì)變大，當(dāng)直線和⊙C相切于點(diǎn)P時(shí)，連接CP，

∵在△ABO中，AO=1，BO=，

∴tan∠BAO=，

∴∠BAO=60°，

∴AC=，

∴OC=AC-OA=，

∴此時(shí)=，

綜上所述， 的取值范圍為： .