Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，將△ABC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、E，那么tan∠ADE的值

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=5，然后分類討論：
當(dāng)△ABC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、E，如圖1，作EH⊥AD于H，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CE=CB=3，CD=CA=4，∠ACD=90°，則AE=AC-CE=1，可判斷△ACD為等腰直角三角形，則AD=

2

CD=4

2

，∠CAD=45°，接著判斷△AEH為等腰直角三角形得到AH=EH=

2

2

AE=

2

2

，于是可計(jì)算出DH=AD-AH=

7 2

2

，然后利用正切的定義可計(jì)算出tan∠ADE的值；
當(dāng)△ABC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、E，如圖2，延長AB交DE于H，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD=CA=4，CE=CB=3，DE=AB=5，∠ACD=90°，AH⊥DE，則DB=CD-BC=1，利用面積法可計(jì)算出AH=

28

5

，則BH=AH-AB=

3

5

，再在Rt△BDH中利用勾股定理計(jì)算出DH=

4

5

，然后在Rt△ADH中利用正切的定義求解．

解答：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，則AB=

BC2+AC2

=5，
當(dāng)△ABC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、E，如圖1，作EH⊥AD于H，
∴CE=CB=3，CD=CA=4，∠ACD=90°，
∴AE=AC-CE=1，
∴△ACD為等腰直角三角形，
∴AD=

2

CD=4

2

，∠CAD=45°，
∴△AEH為等腰直角三角形，
∴AH=EH=

2

2

AE=

2

2

，
∴DH=AD-AH=4

2

-

2

2

=

7 2

2

，
∴tan∠ADE=

EH

DH

=

2 2

7 2 2

=

1

7

，
當(dāng)△ABC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、E，如圖2，延長AB交DE于H，
∴CD=CA=4，CE=CB=3，DE=AB=5，∠ACD=90°，AH⊥DE，
∴DB=CD-BC=1，
∵

1

2

AH•DE=

1

2

AE•CD，
∴AH=

4×7

5

=

28

5

，
∴BH=AH-AB=

3

5

，
在Rt△BDH中，∵DB=1，BH=

3

5

，
∴DH=

DB2-BH2

=

4

5

，
在Rt△ADH中，tan∠ADH=

AH

DH

=

28 5

4 5

=7，
即tan∠ADE=7，
綜上所述，tan∠ADE的值為

1

7

或7．
故答案為

1

7

或7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義．