Question

（2013•平谷區(qū)一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知直線y=

1

2

x+1與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，以線段BC為邊向上作正方形ABCD．
（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（-3，2）

，點(diǎn)D的坐標(biāo)為

（-1，3）

；
（2）若拋物線y=ax²+bx+2（a≠0）經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，求該拋物線的解析式；
（3）若正方形以每秒

5

個(gè)單位長度的速度沿射線BA向上平移，直至正方形的頂點(diǎn)C落在y軸上時(shí)，正方形停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為s，求s關(guān)于平移時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）構(gòu)造全等三角形，由全等三角形對應(yīng)線段之間的相等關(guān)系，求出點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）將C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+2，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）為求s的表達(dá)式，需要識別正方形（與拋物線）的運(yùn)動(dòng)過程．正方形的平移，從開始到結(jié)束，總共歷時(shí)

3

2

秒，期間可以劃分成三個(gè)階段：當(dāng)0＜t≤

1

2

時(shí)，對應(yīng)圖2；當(dāng)

1

2

＜t≤1時(shí)，對應(yīng)圖3；當(dāng)1＜t≤

3

2

時(shí)，對應(yīng)圖4．每個(gè)階段的表達(dá)式不同，請對照圖形認(rèn)真思考．

解答：解：（1）∵y=

1

2

x+1，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=1，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
當(dāng)y=0時(shí)，x=-2，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）．
如圖1，過D點(diǎn)作DH⊥y軸于H，過C點(diǎn)作CG⊥x軸于G．
易證△ADH≌△BAO，∴DH=OA=1，AH=OB=2，∴D（-1，3）；
同理△CBG≌△BAO，∴BG=OA=1，CG=OB=2，∴C（-3，2）．
故答案為（-3，2），（-1，3）；

（2）將C（-3，2）、D（-1，3）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+2，
得

9a-3b+2=2 a-b+2=3

，解得 

a=- 1 2 b=- 3 2

，
∴y=-

1

2

x²-

3

2

x+2；

（3）①當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上時(shí)，t=

1

2

．
當(dāng)0＜t≤

1

2

時(shí)，如圖2，設(shè)D′A′交y軸于點(diǎn)F．
∵tan∠BAO=

OB

OA

=2，又∵∠BAO=∠FAA′，
∴tan∠FAA′=2，即

FA′

AA′

=2，
∵AA′=

5

t，∴FA′=2

5

t．?
∴S_△AA′F?=

1

2

AA′•FA′=

1

2

×

5

t×2

5

t=5t²；?
當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，t=1．
②當(dāng)

1

2

＜t≤1時(shí)，如圖3，設(shè)D′C′交y軸于點(diǎn)G，過G作GH⊥B′A′于H．
在Rt△BOA中，BA=

22+12

=

5

，
∴GH=

5

，∴AH=

1

2

GH=

5

2

，
∵AA′=

5

t，∴HA′=

5

t-

5

2

，∴GD′=

5

t-

5

2

，
∴S_{梯形AA′D′G}?=

1

2

（

5

t-

5

2

+

5

t）

5

=5t-

5

4

；
當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上時(shí)，t=

3

2

．
③當(dāng)1＜t≤

3

2

時(shí)，如圖4，設(shè)D′E′、E′B′分別交y軸于點(diǎn)M、N．
∵AA′=

5

t，B′A′=

5

，
∴AB′=

5

t-

5

，?∴B′N=2AB′=2

5

t-2

5

，
∵B′C′=

5

，∴C′N=B′C′-B′N=3

5

-2

5

t，
∴C′M=

1

2

C′N=

1

2

（3

5

-2

5

t），
∴S_△MNC′=

1

2

（3

5

-2

5

t）•

1

2

（3

5

-2

5

t）=5t²-15t+

45

4

，
∴S_{五邊形B′A′D′MN}?=S_{正方形B′A′D′C′}?-S_△MNC′=（

5

）²-（5t²-15t+

45

4

）=-5t²+15t-

25

4

．
綜上所述，S與x的函數(shù)關(guān)系式為：
當(dāng)0＜t≤

1

2

時(shí)，S=5t²；
當(dāng)

1

2

＜t≤1時(shí)，S=5t-

5

4

；
當(dāng)1＜t≤

3

2

時(shí)，S=-5t²+15t-

25

4

．

點(diǎn)評：本題是非常典型的動(dòng)線型綜合題，全面考查了初中數(shù)學(xué)代數(shù)幾何的多個(gè)重要知識點(diǎn)，包括：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式、拋物線與幾何變換（平移）、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等．難點(diǎn)在于第（3）問，識別正方形和拋物線平移過程的不同階段是關(guān)鍵所在．作為中考壓軸題，本題涉及考點(diǎn)眾多，計(jì)算復(fù)雜，因而難度很大，對考生綜合能力要求很高，具有很好的區(qū)分度．