【題目】已知拋物線yax2x+c經(jīng)過A(2,0),B(0,2)兩點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)PQ同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)均以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)P沿x軸正方向運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q沿y軸正方向運(yùn)動(dòng),連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

(1)求拋物線的解析式;

(2)當(dāng)BQAP時(shí),求t的值;

(3)隨著點(diǎn)P,Q的運(yùn)動(dòng),拋物線上是否存在點(diǎn)M,使△MPQ為等邊三角形?若存在,請(qǐng)求出t的值及相應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】1y=-x2x2;(2)當(dāng)BQAP時(shí),t1t4;(3)存在.當(dāng)t時(shí),拋物線上存在點(diǎn)M1,1),或當(dāng)t時(shí),拋物線上存在點(diǎn)M(﹣3,﹣3),使得△MPQ為等邊三角形.

【解析】

1)把A(﹣2,0),B0,2)代入yax2xc,求出解析式即可;

2BQ=AP,要考慮POC上及POC的延長(zhǎng)線上兩種情況,有此易得BQ,AP關(guān)于t的表示,代入BQ=AP可求t值.
3)考慮等邊三角形,我們通常只需明確一邊的情況,進(jìn)而即可描述出整個(gè)三角形.考慮MPQ,發(fā)現(xiàn)PQ為一有規(guī)律的線段,易得OPQ為等腰直角三角形,但僅因此無法確定PQ運(yùn)動(dòng)至何種情形時(shí)MPQ為等邊三角形.若退一步考慮等腰,發(fā)現(xiàn),MO應(yīng)為PQ的垂直平分線,即使MPQ為等邊三角形的M點(diǎn)必屬于PQ的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn),但要明確這些交點(diǎn)僅僅滿足MPQ為等腰三角形,不一定為等邊三角形.確定是否為等邊,我們可以直接由等邊性質(zhì)列出關(guān)于t的方程,考慮t的存在性.

1)∵拋物線經(jīng)過A(﹣2,0),B0,2)兩點(diǎn),

,解得

∴拋物線的解析式為y=-x2x2

2)由題意可知,OQOPt,AP2t

①當(dāng)t≤2時(shí),點(diǎn)Q在點(diǎn)B下方,此時(shí)BQ2t

BQAP,∴2t2t),∴t1

②當(dāng)t2時(shí),點(diǎn)Q在點(diǎn)B上方,此時(shí)BQt2

BQAP,∴t22+t),∴t4

∴當(dāng)BQAP時(shí),t1t4

3)存在.

MCx軸于點(diǎn)C,連接OM

設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-m2m2

當(dāng)MPQ為等邊三角形時(shí),MQMP,

又∵OPOQ,

∴點(diǎn)M點(diǎn)必在PQ的垂直平分線上,

∴∠POMPOQ45°,

∴△MCO為等腰直角三角形,CMCO,

m=-m2m2,

解得m11,m2=﹣3

M點(diǎn)可能為(1,1)或(﹣3,﹣3).

①如圖,

當(dāng)M的坐標(biāo)為(1,1)時(shí),

則有PC1tMP21+(1t2t22t2

PQ22t2,

∵△MPQ為等邊三角形,

MPPQ

t22t22t2,

解得t1t2(負(fù)值舍去).

②如圖,

當(dāng)M的坐標(biāo)為(﹣3,﹣3)時(shí),

則有PC3t,MC3,

MP232+(3t2t26t18PQ22t2,

∵△MPQ為等邊三角形,

MPPQ,

t26t182t2

解得t1,t2(負(fù)值舍去).

∴當(dāng)t時(shí),拋物線上存在點(diǎn)M1,1),或當(dāng)t時(shí),拋物線上存在點(diǎn)M(﹣3,﹣3),使得MPQ為等邊三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求足球和跳繩的單價(jià);

2)按學(xué)校規(guī)劃,準(zhǔn)備購(gòu)買足球和跳繩共200件,且足球的數(shù)量不少于跳繩的數(shù)量的 ,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購(gòu)買方案,并說明理由.

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1)求點(diǎn)AB的坐標(biāo)及直線AB的函數(shù)表達(dá)式;

2)若直線lx軸,且直線l在第一象限內(nèi)與拋物線交于點(diǎn)M,與直線AB交于點(diǎn)N,求點(diǎn)M與點(diǎn)N之間的距離的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)M,N的坐標(biāo).

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(1)求反比例函數(shù)的解析式并判斷點(diǎn)B是否在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上;

(2)點(diǎn)P(x1,y1)也在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上,﹣3x1mx10,請(qǐng)直接寫出y1的范圍.

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月份(x)

1月

2月

3月

4月

5月

6月

銷售量(p)

3.9萬臺(tái)

4.0萬臺(tái)

4.1萬臺(tái)

4.2萬臺(tái)

4.3萬臺(tái)

4.4萬臺(tái)

(1)求p關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)求該品牌手機(jī)在去年哪個(gè)月的銷售金額最大?最大是多少萬元?

(3)今年1月份該品牌手機(jī)的售價(jià)比去年12月份下降了m%,而銷售量也比去年12月份下降了1.5m%.今年2月份,經(jīng)銷商決定對(duì)該手機(jī)以1月份價(jià)格的“八折”銷售,這樣2月份的銷售量比今年1月份增加了1.5萬臺(tái).若今年2月份這種品牌手機(jī)的銷售額為6400萬元,求m的值.

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A. 30.6 B. 32.1 C. 37.9 D. 39.4

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