Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，E，F分別為BC，CD的中點，連接AE，BF，交點為G．若正方形的邊長為2．

（1）求證：AE⊥BF；

（2）將△BCF沿BF對折，得到△BPF（如圖2），延長FP交BA的延長線于點Q，求AQ的長；

（3）將△ABE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM（如圖3），若AM和BF相交于點N，求四邊形MNGH的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）運用Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的關(guān)系求得∠BGE＝90°即可；

（2）首先利用折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到QF＝QB，然后在Rt△QPB中，利用勾股定理即可解決問題．

（3）首先證明△AGN∽△AHM，再根據(jù)面積比等于相似比的平方，求得S△AGN＝，再利用S四邊形GHMN＝S△AHM﹣S△AGN求解．

（1）證明： ∵四邊形ABCD是正方形，

．

∵E，F分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點，

∴CF＝BE．

在Rt△ABE和Rt△BCF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），

∴∠BAE＝∠CBF．

又∵∠BAE+∠BEA＝90°，

∴∠CBF+∠BEA＝90°，

∴∠BGE＝90°，

∴AE⊥BF．

（2）由折疊的性質(zhì)得FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝∠BCF =90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

．

∴∠CFB＝∠ABF，

∴∠ABF＝∠PFB，

∴QF＝QB．

∵PF＝FC＝1，PB＝BC＝2，

在Rt△BPQ中，設(shè)QB＝x，

∴x2＝（x﹣1）2+22，

∴x＝，

∴AQ＝BQ﹣AB＝．

（3）解： ，

．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知， ．

∵∠BAE＝∠EAM，AE⊥BF，

∴AN＝AB＝2．

∵∠AHM＝90°，

．

．

∴GN∥HM，

∴△AGN∽△AHM，

∴＝（ ）2．

，

∴＝（ ）2，

∴S△AGN＝，

∴S四邊形GHMN＝S△AHM﹣S△AGN＝1﹣＝，

∴四邊形GHMN的面積是 ．