Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，E是CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F、G分別為AE、BC的中點(diǎn)，FG與ED相交于點(diǎn)H

(1) 求證：HE＝HG

(2) 如圖2，當(dāng)BE＝AB時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥DE于點(diǎn)P連接BP，求的值

(3) 在(2)的條件下，若AD＝2，∠ADE＝30°，則BP的長(zhǎng)為_(kāi)_____________

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）BP的長(zhǎng)為

【解析】試題分析：（1）延長(zhǎng)BC至M，且使CM＝BE，通過(guò)三角形全等對(duì)應(yīng)角相等，得出 G為EM的中點(diǎn)，由中位線(xiàn)性質(zhì)得出∠HGE＝∠AMB＝∠HEG，由等角對(duì)等邊得出HE＝HG；（2）通過(guò)做輔助線(xiàn)得出三角形全等，對(duì)應(yīng)邊相等，即可求比值；（3）由∠ADE＝∠CED＝30°

∴CE＝CD得出CE＝CD，由BE＋BC＝CD＋2＝CD，得CD＝，由DE＝，∠ADE＝30°，得AP＝1，DP＝，

試題解析：（1）延長(zhǎng)BC至M，且使CM＝BE，連接AM，

∴△ABM≌△DCE（SAS）

∴∠DEC＝∠AMB

∵EB＝CM，BG＝CG

∴G為EM的中點(diǎn)

∴FG為△AEM的中位線(xiàn)

∴FG∥AM

∴∠HGE＝∠AMB＝∠HEG

∴HE＝HG

(2) 過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥BP交DE于Q

由八字型可得：∠BEQ＝∠BAP

∴△BEQ≌△BAP（ASA）

∴PA＝QE

∴

(3) ∵∠ADE＝∠CED＝30°

∴CE＝CD

∴BE＋BC＝CD＋2＝CD，CD＝

∴DE＝2CD＝

∵∠ADE＝30°

∴AP＝EQ＝1，DP＝

∴PQ＝－1－＝

∴BP＝