Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，?OABC的頂點A，B的坐標分別為（6，0），（7，3），將?OABC繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到?OA′B′C′，當點C′落在BC的延長線上時，線段OA′交BC于點E，則線段C′E的長度為

 

．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)

專題：

分析：如圖，過點C作CD⊥OC′于點D．利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和面積法求得OD=

6

10

，然后通過解直角三角形推知：tan∠COC′=

3

4

．結(jié)合圖形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠COC′=∠AOE，自點E向x軸引垂線，交x軸于點F．則EF=3．利用等角的正切值相等tan∠AOE=tan∠COC′=

EF

OF

=

3

4

．易求OF的長度，則C′E=O′E+O′C=4+1=5．

解答：解：∵OC=OC′，CC′⊥y軸，A，B的坐標分別為（6，0），（7，3），
∴點C到y(tǒng)軸的距離：7-6=1．
∴O′C=O′C′=1，O點到CC′的距離是3，
∴OD=DC′=

10

，S_△OCC′=

1

2

×2×3=3．
如圖，過點C作CD⊥OC′于點D．則

1

2

OD•C′D=3，
∴OD=

6

10

，sin∠COC′=

OD

OC

=

3

5

，tan∠COC′=

3

4

．
∵∠COC′+∠COE=∠AOE+∠COE，
∴∠COC′=∠AOE，
∴tan∠AOE=tan∠COC′=

3

4

．
自點E向x軸引垂線，交x軸于點F．則EF=3．
∵tan∠AOE=

EF

OF

，
∴OF=

EF

tan∠AOE

=4，
∵OF=O′E=4，
∴C′E=O′E+O′C′=4+1=5．
故答案是：5．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．根據(jù)題意作出輔助線是解題的關鍵與難點．