【題目】(2016湖北省荊州市第24題)已知在關(guān)于x的分式方程和一元二次方程(2k)x2+3mx+(3k)n=0中,k、m、n均為實(shí)數(shù),方程的根為非負(fù)數(shù).

(1)求k的取值范圍;

(2)當(dāng)方程有兩個(gè)整數(shù)根x1、x2,k為整數(shù),且k=m+2,n=1時(shí),求方程的整數(shù)根;

(3)當(dāng)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2,滿足x1(x1k)+x2(x2k)=(x1k)(x2k),且k為負(fù)整數(shù)時(shí),試判斷|m|2是否成立?請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)、k≥﹣1且k1且k2;(2)、x=0、1、2、3;(3)、不成立;理由見解析.

【解析】

試題分析:(1)、先解出分式方程的解,根據(jù)分式的意義和方程的根為非負(fù)數(shù)得出k的取值;(2)、先把k=m+2,n=1代入方程化簡(jiǎn),由方程有兩個(gè)整數(shù)實(shí)根得是完全平方數(shù),列等式得出關(guān)于m的等式,由根與系數(shù)的關(guān)系和兩個(gè)整數(shù)根x1、x2得出m=1和1,分別代入方程后解出即可;(3)、根據(jù)(1)中k的取值和k為負(fù)整數(shù)得出k=1,化簡(jiǎn)已知所給的等式,并將兩根和與積代入計(jì)算求出m的值,做出判斷.

試題解析:(1)、關(guān)于x的分式方程的根為非負(fù)數(shù), x0且x1,

x=0,且1, 解得k≥﹣1且k1,

一元二次方程(2k)x2+3mx+(3k)n=0中2k0, k2,

綜上可得:k≥﹣1且k1且k2;

(2)、一元二次方程(2k)x2+3mx+(3k)n=0有兩個(gè)整數(shù)根x1、x2,且k=m+2,n=1時(shí),

把k=m+2,n=1代入原方程得:mx2+3mx+(1m)=0,即:mx23mx+m1=0,

∴△≥0,即=(3m)24m(m1),且m0, ∴△=9m24m(m1)=m(5m+4),

x1、x2是整數(shù),k、m都是整數(shù), x1+x2=3,x1x2==1, 1為整數(shù),

m=1或1, 把m=1代入方程mx23mx+m1=0得:x23x+11=0, x23x=0,

x(x3)=0, x1=0,x2=3;

把m=1代入方程mx23mx+m1=0得:x2+3x2=0, x23x+2=0, (x1)(x2)=0, x1=1,x2=2;

(3)|m|2不成立,理由是:

由(1)知:k≥﹣1且k1且k2, k是負(fù)整數(shù), k=1,

(2k)x2+3mx+(3k)n=0且方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2

x1+x2===m,x1x2==,

x1(x1k)+x2(x2k)=(x1k)(x2k), x12x1k+x22x2k=x1x2x1kx2k+k2,

x12+x22x1x2+k2, (x1+x22﹣2x1x2x1x2=k2 (x1+x223x1x2=k2,

m)23×=(1)2 m24=1, m2=5, m=±, |m|2不成立.

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