Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y＝﹣x+2與x軸交于點B，與y軸交于點A，以AB為斜邊作等腰直角△ABC，使點C落在第一象限，過點C作CD⊥AB于點D，作CE⊥x軸于點E，連接ED并延長交y軸于點F．

（1）如圖（1），點P為線段EF上一點，點Q為x軸上一點，求AP+PQ的最小值．

（2）將直線l進行平移，記平移后的直線為l1，若直線l1與直線AC相交于點M，與y軸相交于點N，是否存在這樣的點M、點N，使得△CMN為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AP+PQ的最小值為4；（2）存在，M點坐標為(﹣12，﹣4)或(12，8)．

【解析】

（1）由直線解析式易求AB兩點坐標，利用等腰直角△ABC構(gòu)造K字形全等易得OE＝CE＝4，C點坐標為（4，4）DB＝∠CEB＝90，可知B、C、D、E四點共圓，由等腰直角△ABC可知∠CBD＝45，同弧所對圓周角相等可知∠CED＝45，所以∠OEF＝45，CE、OE是關于EF對稱，作PH⊥CE于H，作PG⊥OE于Q，AK⊥EC于K．把AP+PQ的最小值問題轉(zhuǎn)化為垂線段最短解決問題．

（2）由直線l與直線AC成45可知∠AMN＝45，由直線AC解析式可設M點坐標為（x，），N在y軸上，可設N（0，y）構(gòu)造K字形全等即可求出M點坐標．

解：（1）過A點作AK⊥CE，

在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC，

∵CE⊥x軸，

∴∠ACK+∠ECB＝90，∠ECB+∠CBE＝90，

∴∠ACK＝∠CBE

在△AKC和△CEB中，

，

△AKC≌△CEB（AAS）

∴AK＝CE，CK＝BE，

∵四邊形AOEK是矩形，

∴AO＝EK＝BE，

由直線l：y＝﹣x+2與x軸交于點B，與y軸交于點A，可知A 點坐標為（0，2），B（6，0）

∴E點坐標為（4，0），C點坐標為（4，4），

∵∠CDB＝∠CEB＝90，

∴B、C、D、E四點共圓，

∵，∠CBA＝45，

∴∠CED＝45，

∴FE平分∠CEO，

過P點作PH⊥CE于H，作PG⊥OE于G，過A點作AK⊥EC于K．

∴PH＝PQ，

∵PA+PQ＝PA+PH≥AK＝OE，

∴OE＝4，

∴AP+PQ≥4，

∴AP+PQ的最小值為4．

（2）∵A 點坐標為（0，2），C點坐標為（4，4），

設直線AC解析式為：y＝kx+b

把（0，2），（4，4）代入得

解得

∴直線AC解析式為：y＝，

設M點坐標為（x，），N坐標為（0，y）．

∵MN∥AB，∠CAB＝45，

∴∠CMN＝45，

△CMN為等腰直角三角形有兩種情況：

Ⅰ．如解圖2﹣1，∠MNC＝90，MN＝CN．

同（1）理過N點構(gòu)造利用等腰直角△MNC構(gòu)造K字形全等，同（1）理得：SN＝CR，MS＝NR．

∴，解得：，

∴M點坐標為（﹣12，﹣4）

Ⅱ．如解圖2﹣2，∠MNC＝90，MN＝CN．

過C點構(gòu)造利用等腰直角△MNC構(gòu)造K字形全等，同（1）得：MS＝CF，CS＝FN．

∴，解得：，

∴M點坐標為（12，8）

綜上所述：使得△CMN為等腰直角三角形得M點坐標為（﹣12，﹣4）或（12，8）．