Question

閱讀材料并回答問題：
（1）方程x²+2x+1=0的根為x₁=-1，x₂=-1，x₁+x₂=-2；x₁x₂=1．方程3x²+4x-7=0的根為x₁=1，x₂=-，x₁+x₂=-，x₁x₂=-．方程ax²+bx+c=0（b²-4ac≥0）的根為x₁=，x₂=，
x₁+x₂=______，x₁x₂=______
（2）從（1）中你一定發(fā)現(xiàn)了一定的規(guī)律，這個規(guī)律是______；
（3）用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題：
①不解方程，直接計算：方程x²-2x-1=0的兩根分別是x₁•x₂，則x₁+x₂=______，x₁•x₂=______；
②方程x²-3x+1=0的兩根分別是x₁•x₂，則x₁²+x₂²=______；
③已知一元二次方程x²-3x-3a=0的一個根為6，求a及方程的另一個根．

Answer 1

解：（1）-；．
（2）一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，且a，b，c是常數(shù)）的兩個根為x₁、x₂．
則x₁+x₂=-，x₁•x₂，=．
（3）①2；-．②7．
③另一根為x₂=3-6=-3；6×（-3）=-3a，解得a=6．
分析：（1）利用一元二次方程的求根公式，求出兩根的和與積，即可得到答案．
（2）根據(jù)（1）得到兩根得和與兩根的積與系數(shù)的關(guān)系．
（3）利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，兩根的和是3，即可求得另一根，再根據(jù)兩根的積是-3a，即可求得a的值．
點評：可利用根與系數(shù)的關(guān)系使問題簡化，不必把方程的解代入求值．