【題目】如圖1,菱形ABCD中,CHAB,垂足為H,交對角線AC于M,連接BM,且AH=3.

(1)求DM的長;

(2)如圖2,動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線ABC方向以2個單位/秒的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動,設(shè)PMB的面積為S(S0),點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)在(2)的條件下,當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動時,是否存在這樣的t的值,使MPB與BCD互為余角?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)DM=(2)S=-t+S=t-.(3)存在,1.

【解析】

試題分析:(1)由菱形的性質(zhì)得到條件,判斷出AMH∽△CDM,由勾股定理計算出DH,即可;

2)由BCM≌△DCM計算出BM=DM,分兩種情況計算即可;

3)由菱形的性質(zhì)判斷出ADM≌△ABM,再判斷出BMP是等腰三角形,即可.

試題解析:(1)在RtADH中,AD=5,AH=3

DH=4

四邊形ABCD是菱形,

ABDC

∴∠BAC=DCA,

DHAB,

∴△AMH∽△CDM,

DH=4

DM=

2BCMDCM,

∴△BCM≌△DCM

BM=DM=CDM=CBM=90°

當(dāng)PAB之間時,S=5-2t×=-t+

當(dāng)PBC之間時S=2t-5×=t-.

3存在

∵∠ADM+BAD=90°,BCD=BAD,

∴∠ADM+BCD=90°

∵∠MPB+BCD=90°,

∴∠MPB=ADM,

四邊形ABCD是菱形

∴∠DAM=BAM,

AM=AM,

∴△ADM≌△ABM

∴∠ADM=ABM,

∴∠MPB=ABM,

MHAB,

PH=BH=,

BP=2BH=3,

AB=5

AP=2,

t==1

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