Question

【題目】【問題情景】利用三角形的面積相等來求解的方法是一種常見的等積法，此方法是我們解決幾何問題的途徑之一．

例如：張老師給小聰提出這樣一個問題：

如圖1，在△ABC中，AB=3，AD=6，問△ABC的高AD與CE的比是多少？

小聰?shù)挠嬎闼悸肥牵?/span>

根據(jù)題意得：S△ABC=BCAD=ABCE．

從而得2AD=CE，∴

請運用上述材料中所積累的經(jīng)驗和方法解決下列問題：

（1）【類比探究】

如圖2，在ABCD中，點E、F分別在AD，CD上，且AF=CE，并相交于點O，連接BE、BF，

求證：BO平分角AOC．

（2）【探究延伸】

如圖3，已知直線m∥n，點A、C是直線m上兩點，點B、D是直線n上兩點，點P是線段CD中點，且∠APB=90°，兩平行線m、n間的距離為4．求證：PAPB=2AB．

（3）【遷移應用】

如圖4，E為AB邊上一點，ED⊥AD，CE⊥CB，垂足分別為D，C，∠DAB=∠B，AB=，BC=2，AC=，又已知M、N分別為AE、BE的中點，連接DM、CN．求△DEM與△CEN的周長之和．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）5+

【解析】分析：(1)、根據(jù)平行四邊形的性質得出△ABF和△BCE的面積相等，過點B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H，從而得出AF=CE，然后證明△BOG和△BOH全等，從而得出∠BOG=∠BOH，即角平分線；(2)、過點P作PG⊥n于G，交m于F，根據(jù)平行線的性質得出△CPF和△DPG全等，延長BP交AC于E，證明△CPE和△DPB全等，根據(jù)等積法得出AB=AP×PB，從而得出答案；(3)、，延長AD，BC交于點G，過點A作AF⊥BC于F，設CF=x，根據(jù)Rt△ABF和Rt△ACF的勾股定理得出x的值，根據(jù)等積法得出AE=2DM=2EM，BE=2CN=2EN， DM+CN=AB，從而得出兩個三角形的周長之和．

同理：EM+EN=AB

詳解：證明：（1）如圖2， ∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴S△ABF=SABCD，S△BCE=SABCD， ∴S△ABF=S△BCE，

過點B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H， ∴S△ABF=AF×BG，S△BCE=CE×BH，

∴AF×BG=CE×BH，即：AF×BG=CE×BH， ∵AF=CE， ∴BG=BH，

在Rt△BOG和Rt△BOH中，， ∴Rt△BOG≌Rt△BOH， ∴∠BOG=∠BOH，

∴OB平分∠AOC，

（2）如圖3，過點P作PG⊥n于G，交m于F， ∵m∥n， ∴PF⊥AC，

∴∠CFP=∠BGP=90°， ∵點P是CD中點，

在△CPF和△DPG中，， ∴△CPF≌△DPG， ∴PF=PG=FG=2，

延長BP交AC于E， ∵m∥n， ∴∠ECP=∠BDP， ∴CP=DP，

在△CPE和△DPB中，， ∴△CPE≌△DPB， ∴PE=PB，

∵∠APB=90°， ∴AE=AB， ∴S△APE=S△APB，

∵S△APE=AE×PF=AE=AB，S△APB=AP×PB，

∴AB=AP×PB， 即：PAPB=2AB；

（3）如圖4，延長AD，BC交于點G， ∵∠BAD=∠B，

∴AG=BG，過點A作AF⊥BC于F，

設CF=x（x＞0）， ∴BF=BC+CF=x+2， 在Rt△ABF中，AB=，

根據(jù)勾股定理得，AF2=AB2﹣BF2=34﹣（x+2）2， 在Rt△ACF中，AC=，

根據(jù)勾股定理得，AF2=AC2﹣CF2=26﹣x2，

∴34﹣（x+2）2=26﹣x2， ∴x=﹣1（舍）或x=1， ∴AF==5，

連接EG， ∵S△ABG=BG×AF=S△AEG+S△BEG=AG×DE+BG×CE=BG（DE+CE），

∴DE+CE=AF=5， 在Rt△ADE中，點M是AE的中點， ∴AE=2DM=2EM，

同理：BE=2CN=2EN， ∵AB=AE+BE， ∴2DM+2CN=AB， ∴DM+CN=AB，

同理：EM+EN=AB ∴△DEM與△CEN的周長之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN=（DE+CE）+[（DM+CN）+（EM+EN）]

=（DE+CN）+AB=5+．