Question

二次函數(shù)y=mx²+（m-2）x-2（m＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．
（1）求點A坐標；
（2）當∠ABC=45°時，①求m的值；②將此拋物線向下平移

7

4

個單位后，得到拋物線C′，且與x軸的左半軸交于M點，與y軸交于N點，請在拋物線C′上求點P，使得△MNP是以N，M為頂點直角的直角三角形．

Answer 1

分析：（1）根據已知y=mx ²+（m-2）x-2可化為兩根式y(tǒng)=（mx-2）（x+1），進而得出A點坐標即可；
（2）①當∠ABC=45°時，則△OBC為等腰直角三角形，OB=OC=

2

m

=2，求出m即可；
②使得△MNP是以N，M為頂點直角的直角三角形的兩種情況：Ⅰ：當PM垂直MN時，Ⅱ：當PN垂直MN時，分別求出即可．

解答：解：（1）二次函數(shù)y=mx ²+（m-2）x-2可化為兩根式y(tǒng)=（mx-2）（x+1），
則與x軸交點的橫坐標x₁=

2

m

，x₂=-1，
∵點A在點B的左側，m＞0，
∴A點坐標為（-1，0）；

（2）①點C坐標可求得為（0，-2），
當∠ABC=45°時，則△OBC為等腰直角三角形，
OB=OC=

2

m

=2，
即m=1，
②二次函數(shù)的解析式為y=x²-x-2；
將二次函數(shù)y=x²-x-2向下平移

7

4

個單位后，得到拋物線C'，
則拋物線C'的解析式為y=x²-x-

15

4

，
求得M的坐標為（-

3

2

，0）、N的坐標為（0，-

15

4

），
直線MN的解析式為y=-

5

2

x-

15

4

，
在拋物線C'上求點P，使得△MNP是以N，M為頂點的直角三角形的兩種情況：
Ⅰ：當PM垂直MN時，
∵直線MN的解析式為y=-

5

2

x-

15

4

，
∴設直線PM的解析式為：y=

2

5

x+b，
∵M的坐標為（-

3

2

，0），
∴

2

5

×（-

3

2

）+b=0，解得b=

3

5

，
∴PM的解析式為：y=

2

5

x+

3

5

，
聯(lián)立y=x²-x-

15

4

，
解得x=

29

10

，y=

44

25

，
所以P的坐標為（

29

10

，

44

25

）；
Ⅱ：當PN垂直MN時，
PN的解析式可求得為y=

2

5

x-

15

4

，
聯(lián)立y=x²-x-

15

4

，
解得x=

7

5

，y=-

319

100

，
所以P的坐標為（

7

5

，-

319

100

）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及等腰直角三角形的性質和函數(shù)交點坐標求法，根據已知的畫出函數(shù)圖象進而求出是解題關鍵．