Question

如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，MN為大圓的直徑，交小圓于點P、Q，大圓的弦MC交小圓于點A、B．若OM=2，OP=1，MA=AB=BC，則△MBQ的面積為

3 15

8

．

Answer 1

分析：首先過O點作OD⊥AB，垂足為D，連接OA，設OD=x，AD=y，利用勾股定理和垂徑定理求出x和y的值，繼而求出sin∠MDO的值，然后過B點作BE⊥MQ，垂足為E，在Rt△MEB中，sin∠BME=sin∠MDO，求出BE的值，利用三角形的面積公式求出△MBQ的面積．

解答：解：過O點作OD⊥AB，垂足為D，連接OA，
設OD=x，AD=y，
∵O是圓心，MC是圓的一條弦，OD⊥AB，
∴AD=DB=

1

2

AB，MD=CD=

1

2

MC，
∵MA=AB=BC，
∴MA=2AD，
在Rt△ADO中，AD²+OD²=OA²，
即y2+x2=1…①，
在Rt△MDO中，OD²+MD²=MO²，
即x²+9y²=4…②，
聯(lián)立①②解得x=

10

4

，y=

6

4

，
在Rt△MDO中，sin∠MDO=

OD

OM

=

10

8

，
過B點作BE⊥MQ，垂足為E，
在Rt△MEB中，sin∠BME=

BE

BM

=

10

8

，
解得BE=

15

4

，
S_△BMQ=

1

2

MQ•BE=

1

2

×3×

15

4

=

3 15

8

，
故答案為

3 15

8

．

點評：本題主要考查垂徑定理和勾股定理的知識點，解答本題的關鍵是添加輔助線，利用輔助線構造成直角三角形進行解題，此題是一道比較典型的試題，請同學們注意．