Question

【題目】某校數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次課外活動(dòng)，過(guò)程如下：如圖①，正方形ABCD中，AB=4，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)與D點(diǎn)重合．三角板的一邊交AB于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．

（1）求證：AP=CQ；

（2）如圖②，小明在圖1的基礎(chǔ)上作∠PDQ的平分線DE交BC于點(diǎn)E，連接PE，他發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)猜測(cè)他的結(jié)論并予以證明；

（3）在（2）的條件下，若AP=1，求PE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

（2）PE=QE，理由見(jiàn)解析；

（3）PE的長(zhǎng)為3.4．

【解析】試題分析：(1)、根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°，AD=BC=CD=AB=4，結(jié)合∠PDQ=90°得出∠ADP=∠CDQ，從而說(shuō)明△APD和△CQD全等，從而得出答案；(2)、根據(jù)全等得出PD=QD，根據(jù)DE為角平分線得出∠PDE=∠QDE，從而說(shuō)明△PDE和△QDE全等，得出答案；(3)、根據(jù)(2)得出PE=QE，根據(jù)(1)得出CQ=AP=1。從而得到BQ=5，BP=3，設(shè)PE=QE=x，然后利用Rt△BPE的勾股定理得出x的值，得出答案.

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°，AD=BC=CD=AB=4， ∵∠PDQ=90°，

∴∠ADP=∠CDQ，

在△APD和△CQD中， ∴△APD≌△CQD（ASA）， ∴AP=CQ；

（2）PE=QE，

理由如下：由（1）得：△APD≌△CQD， ∴PD=QD， ∵DE平分∠PDQ，∴∠PDE=∠QDE，

在△PDE和△QDE中 ∴△PDE≌△QDE（SAS）， ∴PE=QE；

（3）由（2）得：PE=QE，由（1）得：CQ=AP=1， ∴BQ=BC+CQ=5，BP=AB﹣AP=3，

設(shè)PE=QE=x，則BE=5﹣x， 在Rt△BPE中，由勾股定理得：32+（5﹣x）2=x2，

解得：x=3.4， 即PE的長(zhǎng)為3.4．