【題目】如圖,在直角坐標系中,點A(0,4),B(﹣3,4),C(﹣6,0),動點P從點A出發(fā)以1個單位/秒的速度在y軸上向下運動,動點Q同時從點C出發(fā)以2個單位/秒的速度在x軸上向右運動,過點P作PD⊥y軸,交OB于D,連接DQ.當點P與點O重合時,兩動點均停止運動.設(shè)運動的時間為t秒.

(1)當t=1時,求線段DP的長;
(2)連接CD,設(shè)△CDQ的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)解析式,并求出S的最大值;
(3)運動過程中是否存在某一時刻,使△ODQ與△ABC相似?若存在,請求出所有滿足要求的t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:如圖1,

由A(0,4),B(﹣3,4),C(﹣6,0)可知OA=4,AB=3,CO=6,

當t=1時,AP=1,則OP=3,

∵PD⊥y軸,AB⊥y軸,

∴PD∥AB,

= ,

∴DP=


(2)

解:如圖2,

∵運動的時間為t秒,動點Q同時從點C出發(fā)以2個單位/秒的速度在x軸上向右運動,

∴CQ=2t,

∴AP=t,OP=4﹣t,

作DE⊥CO于點E,則DE=OP=4﹣t,

∴S= ×CQ×DE= ×2t×(4﹣t)=﹣t2+4t=﹣(t﹣2)2+4,

當t=2時,S最大值=4


(3)

解:如圖3,分兩種情況討論:

①當0≤t<3時,點Q在CO上運動(當t=3時,△ODQ不存在),

∵AB∥CO,

∴∠BOC=∠ABO<∠ABC,

可證得BO=BC,

∴∠BOC=∠BCO>∠BCA,

∵AB∥CO,

∴∠BAC=∠ACO<∠BCO=∠BOC,

∴當0≤t≤3時,△ODQ與△ABC不可能相似;

②當3<t≤4時,點Q在x軸正半軸上運動,

延長AB,

∵AB∥CO,

∴∠FBC=∠BCO=∠BOC,

∴∠ABC=∠DOQ OQ=2t﹣6,

由DP∥AB可得OD= ,

時, = ,t= ;

時, = ,t= ;

∴存在t= 和t= ,使△ODQ與△ABC相似.


【解析】(1)先由A(0,4),B(﹣3,4),C(﹣6,0)得出OA=4,AB=3,CO=6,再根據(jù)當t=1時,AP=1,則OP=3,再證出 ,最后代入計算即可,(2)先作DE⊥CO于點E,根據(jù)DE=OP=4﹣t得出S= ×CQ×DE=﹣t2+4t,從而求出當t=2時,S有最大值,(3)分兩種情況討論:①當0≤t<3時,點Q在CO上運動,根據(jù)AB∥CO得出∠BOC=∠ABO<∠ABC,證得BO=BC從而得出∠BOC=∠BCO>∠BCA,根據(jù)AB∥CO得出∠BAC=∠ACO<∠BCO=∠BOC從而證出當0≤t≤3時,△ODQ與△ABC不可能相似;②當3<t≤4時,點Q在x軸正半軸上運動,延長AB,根據(jù)AB∥CO得出∠ABC=∠DOQ,OQ=2t﹣6,再由DP∥AB可得OD= ,最后根據(jù) 時,分別進行計算,求出t的值,即可得出答案.

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